如果f(x)=} (sin ax)/(x)+2, & x0 在x=0处连续,则常数a,b分别为().A. 0,1;B. 1,0;C. 0,-1;D. -1,0.

本题考查分段函数在某点处连续的知识点。解题思路是根据函数在某点连续的定义，即函数在该点处的左极限等于右极限等于该点的函数值，分别求出函数在$x = 0$处的左极限、右极限，再结合函数在$x = 0$处的函数值，列出关于$a$、$b$的方程，进而求解$a$、$b$的值。

步骤一：求函数$f(x)$在$x = 0$处的左极限$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)$

当$x\to 0^{-}$时，$f(x)=\frac{\sin ax}{x}+2$，对$\frac{\sin ax}{x}$进行变形可得：
$\frac{\sin ax}{x}=a\cdot\frac{\sin ax}{ax}$
根据重要极限$\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1$，当$x\to 0^{-}$时，$ax\to 0$，则有：
$\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{\sin ax}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{-}}a\cdot\frac{\sin ax}{ax}=a\cdot\lim\limits_{ax \to 0}\frac{\sin ax}{ax}=a\times1 = a$
所以$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}(\frac{\sin ax}{x}+2)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{\sin ax}{x}+\lim\limits_{x \to 0^{-}}2=a + 2$

步骤二：求函数$f(x)$在$x = 0$处的右极限$\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)$

当$x\to 0^{+}$时，$f(x)=\frac{\ln(1 + x)}{x}+b$，根据等价无穷小$\ln(1 + x)\sim x(x\to 0)$，则有：
$\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\ln(1 + x)}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{x}{x}=1$
所以$\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}(\frac{\ln(1 + x)}{x}+b)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\ln(1 + x)}{x}+\lim\limits_{x \to 0^{+}}b=1 + b$

步骤三：根据函数在$x = 0$处连续的定义列方程求解$a$、$b$

已知$f(0)=1$，因为函数$f(x)$在$x = 0$处连续，所以$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)$，即：
$\begin{cases}a + 2 = 1\\1 + b = 1\end{cases}$
解第一个方程$a + 2 = 1$，移项可得$a = 1 - 2=-1$；
解第二个方程$1 + b = 1$，移项可得$b = 1 - 1 = 0$。