为估计某种汉堡的脂肪含量随机抽取了10个这种汉堡测得脂肪含量 ( % ) 如下： 25.2 , 21.3 , 22.8 , 17.0 , 29.8 , 21.0 , 25.5 , 16.0 , 20.9 , 19.5 假设这种汉堡的脂肪含量 ( % ) 服从正态分布求平均脂肪含量的置信度为 0.95 的置信区间。

考查要点：本题主要考查单正态总体均值的置信区间估计，涉及t分布的应用。
解题核心思路：

1. 确定样本均值和样本标准差；
2. 根据置信度和样本量确定t分布的临界值；
3. 代入置信区间公式计算区间范围。
   破题关键点：

• 明确样本量较小（n=10），总体方差未知时，应使用t分布而非z分布；
• 正确计算标准误差（$S/\sqrt{n}$）并结合临界值构造区间。

1. 计算样本均值 $\overline{X}$

将10个汉堡的脂肪含量相加后除以10：
$\overline{X} = \frac{25.2 + 21.3 + 22.8 + 17.0 + 29.8 + 21.0 + 25.5 + 16.0 + 20.9 + 19.5}{10} = 21.93$

2. 计算样本标准差 $S$

通过公式计算样本标准差（具体计算过程略），结果为：
$S = 4.13$

3. 确定置信度与自由度

• 置信度为 $1 - \alpha = 0.95$，故 $\alpha = 0.05$；
• 自由度 $df = n - 1 = 9$；
• 查t分布表，得双侧临界值 $t_{\alpha/2}(df) = t_{0.025}(9) = 2.262$。

4. 计算标准误差与置信区间

标准误差为：
$\frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{4.13}{\sqrt{10}} \approx 1.306$
置信区间公式为：
$\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$
代入数值：
$21.93 \pm 2.262 \cdot 1.306 \approx 21.93 \pm 2.96$
最终置信区间为：
$(21.93 - 2.96, \ 21.93 + 2.96) = (18.97, \ 24.89)$