题目
下列关于二项分布的结论正确的是A. 二项分布的随机变量可看作若干相互独立的0-1分布的随机变量之和。B. 当p很小n很大时,泊松分布可作为二项分布的近似分布。C. 当n充分大时,二项分布近似服从正态分布N(np,np(1-p))。D. 当n充分大时,二项分布近似服从正态分布N(0,1)。
下列关于二项分布的结论正确的是
A. 二项分布的随机变量可看作若干相互独立的0-1分布的随机变量之和。
B. 当p很小n很大时,泊松分布可作为二项分布的近似分布。
C. 当n充分大时,二项分布近似服从正态分布N(np,np(1-p))。
D. 当n充分大时,二项分布近似服从正态分布N(0,1)。
题目解答
答案
ABC
A. 二项分布的随机变量可看作若干相互独立的0-1分布的随机变量之和。
B. 当p很小n很大时,泊松分布可作为二项分布的近似分布。
C. 当n充分大时,二项分布近似服从正态分布N(np,np(1-p))。
A. 二项分布的随机变量可看作若干相互独立的0-1分布的随机变量之和。
B. 当p很小n很大时,泊松分布可作为二项分布的近似分布。
C. 当n充分大时,二项分布近似服从正态分布N(np,np(1-p))。
解析
步骤 1:二项分布的定义
二项分布描述的是在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率分布。每次试验只有两种可能的结果:成功或失败,且每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p。因此,二项分布的随机变量可以看作是n次独立的0-1分布的随机变量之和,其中0表示失败,1表示成功。
步骤 2:泊松分布作为二项分布的近似
当试验次数n很大,而每次试验成功的概率p很小,且np的值适中时,二项分布可以近似地用泊松分布来表示。这是因为泊松分布是描述在单位时间内随机事件发生次数的概率分布,当n很大,p很小,且np适中时,二项分布的形状接近于泊松分布。
步骤 3:正态分布作为二项分布的近似
当试验次数n很大时,二项分布可以近似地用正态分布来表示。这是因为根据中心极限定理,当n很大时,二项分布的形状接近于正态分布。二项分布的均值为np,方差为np(1-p),因此,当n很大时,二项分布近似服从正态分布N(np, np(1-p))。
步骤 4:正态分布N(0,1)的条件
正态分布N(0,1)是标准正态分布,其均值为0,方差为1。当n很大时,二项分布近似服从正态分布N(np, np(1-p)),而不是N(0,1)。因此,选项D不正确。
二项分布描述的是在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率分布。每次试验只有两种可能的结果:成功或失败,且每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p。因此,二项分布的随机变量可以看作是n次独立的0-1分布的随机变量之和,其中0表示失败,1表示成功。
步骤 2:泊松分布作为二项分布的近似
当试验次数n很大,而每次试验成功的概率p很小,且np的值适中时,二项分布可以近似地用泊松分布来表示。这是因为泊松分布是描述在单位时间内随机事件发生次数的概率分布,当n很大,p很小,且np适中时,二项分布的形状接近于泊松分布。
步骤 3:正态分布作为二项分布的近似
当试验次数n很大时,二项分布可以近似地用正态分布来表示。这是因为根据中心极限定理,当n很大时,二项分布的形状接近于正态分布。二项分布的均值为np,方差为np(1-p),因此,当n很大时,二项分布近似服从正态分布N(np, np(1-p))。
步骤 4:正态分布N(0,1)的条件
正态分布N(0,1)是标准正态分布,其均值为0,方差为1。当n很大时,二项分布近似服从正态分布N(np, np(1-p)),而不是N(0,1)。因此,选项D不正确。