题目
2.某工厂用自动包装机包装奶粉，今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋，测得各袋的重量（单位：g）为495， 510， 505， 489， 503， 502， 512， 497， 506， 492设包装机称得的奶粉重量X~N(μ，σ²)，在显著性水平α=0.02下能否认为（1）μ=500；（2）σ=5. （t_(0.01)(9)=2.82，x_(0.01)^2(9)=21.67，x_(0.99)^2(9)=2.09）
2.某工厂用自动包装机包装奶粉，今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋，测得各袋的重量（单位：g）为
495， 510， 505， 489， 503， 502， 512， 497， 506， 492
设包装机称得的奶粉重量X~N(μ，σ²)，在显著性水平α=0.02下能否认为
（1）μ=500；（2）σ=5. （$t_{0.01}(9)=2.82$，$x_{0.01}^{2}(9)=21.67$，$x_{0.99}^{2}(9)=2.09$）
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要对两个假设进行假设检验：一个关于均值 $\mu$，一个关于标准差 $\sigma$。让我们一步步来解决。
### 第一步：检验均值 $\mu = 500$
**零假设 $H_0$:** $\mu = 500$
**备择假设 $H_1$:** $\mu \neq 500$
我们使用t检验，因为总体标准差未知。t检验统计量由下式给出：
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]
其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是假设的均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。
首先，我们计算样本均值 $\bar{x}$：
\[ \bar{x} = \frac{495 + 510 + 505 + 489 + 503 + 502 + 512 + 497 + 506 + 492}{10} = \frac{5011}{10} = 501.1 \]
接下来，我们计算样本标准差 $s$：
\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2}{9}} \]
首先，我们找到平方差：
\[ (495 - 501.1)^2 = 42.25, \quad (510 - 501.1)^2 = 79.21, \quad (505 - 501.1)^2 = 15.21, \quad (489 - 501.1)^2 = 146.41 \]
\[ (503 - 501.1)^2 = 3.61, \quad (502 - 501.1)^2 = 0.81, \quad (512 - 501.1)^2 = 123.21, \quad (497 - 501.1)^2 = 17.61 \]
\[ (506 - 501.1)^2 = 23.04, \quad (492 - 501.1)^2 = 82.81 \]
将这些值相加：
\[ 42.25 + 79.21 + 15.21 + 146.41 + 3.61 + 0.81 + 123.21 + 17.61 + 23.04 + 82.81 = 524.93 \]
因此，样本标准差为：
\[ s = \sqrt{\frac{524.93}{9}} = \sqrt{48.3256} \approx 6.95 \]
现在，我们计算t统计量：
\[ t = \frac{501.1 - 500}{6.95 / \sqrt{10}} = \frac{1.1}{6.95 / 3.162} = \frac{1.1}{2.202} \approx 0.4995 \]
在 $ \alpha = 0.02 $ 的显著性水平下，自由度为 $ n-1 = 9 $ 的双侧t检验的临界值为 $ t_{0.01}(9) = 2.82 $。由于 $ |t| = 0.4995 < 2.82 $，我们无法拒绝零假设。
因此，我们得出结论，没有足够的证据表明 $\mu \neq 500$。所以，我们接受 $\mu = 500$。
### 第二步：检验标准差 $\sigma = 5$
**零假设 $H_0$:** $\sigma = 5$
**备择假设 $H_1$:** $\sigma \neq 5$
我们使用卡方检验，卡方检验统计量由下式给出：
\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \]
其中 $s$ 是样本标准差，$\sigma_0$ 是假设的标准差，$n$ 是样本大小。
使用之前计算的 $s \approx 6.95$ 和 $\sigma_0 = 5$：
\[ \chi^2 = \frac{9 \times 6.95^2}{5^2} = \frac{9 \times 48.3256}{25} = \frac{435.0624}{31.625} \approx 13.92 \]
在 $ \alpha = 0.02 $ 的显著性水平下，自由度为 $ n-1 = 9 $ 的双侧卡方检验的临界值为 $ \chi^2_{0.01}(9) = 21.67 $ 和 $ \chi^2_{0.99}(9) = 2.09 $。由于 $ 2.09 < 13.92 < 21.67 $，我们无法拒绝零假设。
因此，我们得出结论，没有足够的证据表明 $\sigma \neq 5$。所以，我们接受 $\sigma = 5$。
### 最终答案
1. 对于均值，我们接受 $ \mu = 500 $。
2. 对于标准差，我们接受 $ \sigma = 5 $。
\[
\boxed{\text{（1）接受 } \mu = 500, \text{（2）接受 } \sigma = 5}
\]