设随机变量 X_1, X_2, ..., X_n 相互独立且同分布 X sim N(mu, sigma^2), overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i, S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2, D(X_i)= sigma^2 则 S^2(）A. 是 sigma 的有效估计B. 是 sigma^2 的无偏估计C. 是 mu 的无偏估计D. 不能确定

本题考查的知识点是估计量的无偏性、有效性以及正态分布样本统计量的性质。解题的关键在于明确无偏估计和有效估计的定义，并通过计算样本方差 $S^2$ 的期望来判断其是否为 $\sigma^2$ 的无偏估计。

1. 明确无偏估计和有效估计的定义

• 若估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta})=\theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计。
• 若 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$ 都是参数 $\theta$ 的无偏估计，且 $D(\hat{\theta}_1)<D(\hat{\theta}_2)$，则称 $\hat{\theta}_1$ 比 $\hat{\theta}_2$ 有效。若在所有无偏估计中，$\hat{\theta}$ 的方差最小，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的有效估计。

2. 计算 $E(S^2)$

已知 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，我们先对 $\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 进行变形：
$\begin{align*}\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2&=\sum_{i = 1}^{n}[(X_i - \mu)-(\overline{X}-\mu)]^2\\&=\sum_{i = 1}^{n}[(X_i - \mu)^2 - 2(X_i - \mu)(\overline{X}-\mu)+(\overline{X}-\mu)^2]\\&=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - 2(\overline{X}-\mu)\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)+n(\overline{X}-\mu)^2\end{align*}$
因为 $\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)=n(\overline{X}-\mu)$，所以上式可化简为：
$\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2=\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - n(\overline{X}-\mu)^2$

3. 分别计算 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]$ 和 $E\left[n(\overline{X}-\mu)^2\right]$

• 由于 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$，根据方差的定义 $D(X_i)=E[(X_i - E(X_i))^2]$，可得 $E[(X_i - \mu)^2]=D(X_i)=\sigma^2$，那么 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\sum_{i = 1}^{n}E[(X_i - \mu)^2]=n\sigma^2$。
• 又因为 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，且 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立同分布，所以 $D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}$。再根据方差的定义 $D(\overline{X})=E[(\overline{X}-E(\overline{X}))^2]$，可得 $E\left[n(\overline{X}-\mu)^2\right]=nE[(\overline{X}-\mu)^2]=nD(\overline{X})=\sigma^2$。

4. 计算 $E(S^2)$

$\begin{align*}E(S^2)&=E\left[\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2 - n(\overline{X}-\mu)^2\right]\\&=\frac{1}{n - 1}\left[E\left(\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right)-E\left(n(\overline{X}-\mu)^2\right)\right]\\&=\frac{1}{n - 1}(n\sigma^2 - \sigma^2)\\&=\frac{1}{n - 1}\cdot(n - 1)\sigma^2\\&=\sigma^2\end{align*}$
由无偏估计的定义可知，$S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计。

5. 判断 $S^2$ 是否为 $\sigma$ 的有效估计和 $\mu$ 的无偏估计

• $S^2$ 是关于 $\sigma^2$ 的估计量，不是关于 $\sigma$ 的估计量，所以 A 选项错误。
• $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，不是 $\mu$ 的无偏估计，$\overline{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计，所以 C 选项错误。