7-1 设总体X服从泊松分布P(λ)，其中λ为未知参数，X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自X的简单随机样本，求λ的矩估计量和极大似然估计量.

本题主要考查参数估计中的矩估计法和极大似然估计法，下面分别对这两种方法进行详细分析。

矩估计法

矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩，进而得到未知参数的估计量。对于本题，总体$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，我们需要先求出总体的一阶矩（即期望），然后令其等于样本的一阶矩（即样本均值），从而得到$\lambda$的矩估计量。

• 步骤一：求总体$X$的期望$E(X)$
  已知总体$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，根据泊松分布的性质，其期望$E(X)=\lambda$。
• 步骤二：求样本均值$\overline{X}$
  样本均值$\overline{X}$的计算公式为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，其中$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体$X$的简单随机样本。
• 步骤三：令总体期望等于样本均值，求解$\lambda$的矩估计量
  令$E(X)=\overline{X}$，即$\lambda = \overline{X}$，所以$\lambda$的矩估计量为$\hat{\lambda}=\overline{X}$。

极大似然估计法

极大似然估计法的基本思想是在已知总体分布的情况下，找到一个参数值，使得样本出现的概率最大。对于本题，我们需要先写出似然函数，然后对其取对数，再求导并令导数为零，最后解出$\lambda$的值，即为$\lambda$的极大似然估计量。

• 步骤一：写出似然函数$L(\lambda)$
  因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体$X$的简单随机样本，且总体$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，所以似然函数为$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P(X_{i}=x_{i})=\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{X_{i}}e^{-\lambda}}{X_{i}!}$。
• 步骤二：对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\lambda)$
  $\ln L(\lambda)=\ln\left(\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{X_{i}}e^{-\lambda}}{X_{i}!}\right)$
  根据对数的运算法则$\ln(ab)=\ln a + \ln b$和$\ln\frac{a}{b}=\ln a - \ln b$，可得：
  $\ln L(\lambda)=\sum_{i = 1}^{n}\ln\left(\frac{\lambda^{X_{i}}e^{-\lambda}}{X_{i}!}\right)=\sum_{i = 1}^{n}\left(X_{i}\ln\lambda - \lambda - \ln X_{i}!\right)=\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\ln\lambda - n\lambda - \sum_{i = 1}^{n}\ln X_{i}!$
• 步骤三：对对数似然函数求导，并令导数为零
  对$\ln L(\lambda)$关于$\lambda$求导，可得：
  $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}}{\lambda}-n$
  令$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=0$，即$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}}{\lambda}-n = 0$。
• 步骤四：求解$\lambda$的值，得到$\lambda$的极大似然估计量
  由$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}}{\lambda}-n = 0$，移项可得$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}}{\lambda}=n$，进一步解得$\lambda = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}=\overline{X}$，所以$\lambda$的极大似然估计量为$\hat{\lambda}=\overline{X}$。