设随机变量以的概率密度为以求：随机变量以的概率密度以

步骤 1：确定随机变量Y的取值范围
由于$Y={X}^{2}+1$，且$-1\lt x\lt 1$，所以$0\leqslant {X}^{2}\lt 1$，从而$1\leqslant Y\lt 2$。
步骤 2：计算累积分布函数$F_Y(y)$
$F_Y(y)=P(Y\leqslant y)=P({X}^{2}+1\leqslant y)=P({X}^{2}\leqslant y-1)$
当$y\lt 1$时，$F_Y(y)=0$。
当$1\leqslant y\lt 2$时，$F_Y(y)={\int }_{-\sqrt {y-1}}^{\sqrt {y-1}}{f}_{x}(x)dx={\int }_{-\sqrt {y-1}}^{\sqrt {y-1}}\dfrac {3}{2}{x}^{2}dx=\dfrac {1}{2}{x}^{3}|-\sqrt {y-1}=\dfrac {1}{2}{(y-1)}^{\dfrac {3}{2}}+\dfrac {1}{2}{(y-1)}^{\dfrac {3}{2}}={(y-1)}^{\dfrac {3}{2}}$
当$y\geqslant 2$时，$F_Y(y)=1$。
步骤 3：计算概率密度函数$f_Y(y)$
$f_Y(y)={F_Y}'(y)$
当$y\lt 1$时，$f_Y(y)=0$。
当$1\leqslant y\lt 2$时，$f_Y(y)=\dfrac {3}{2}{(y-1)}^{\dfrac {1}{2}}=\dfrac {3}{2}\sqrt {y-1}$
当$y\geqslant 2$时，$f_Y(y)=0$。