题目

定理6.5 设总体 X sim N(mu, sigma^2)，(X_1, X_2, ldots, X_n) 是来自总体 X 的样本，bar(X)，S^2 分别是样本均值和样本方差，则 ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)，且 bar(X) 与 S^2 相互独立。证明略。

定理6.5 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 是来自总体 X 的样本，$\bar{X}$，$S^2$ 分别是样本均值和样本方差，则 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

证明略。

题目解答

答案

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本为 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。

  1. 样本均值的分布：
    $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。

  2. 样本方差的分布：
    令 $Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，则 $Y_i \sim N(0, 1)$，且
    $\sum_{i=1}^n Y_i^2 \sim \chi^2(n), \quad n\bar{Y}^2 = n\left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$
    由
    $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \sigma^2\left(\sum_{i=1}^n Y_i^2 - n\bar{Y}^2\right)$
    得
    $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \sim \chi^2(n-1)$
    （其中 $\bar{Y} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$，且 $\bar{Y}$ 与 $Y_i - \bar{Y}$ 独立）。

  3. 独立性：
    $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立，因 $\bar{Y}$ 与 $\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$ 独立。

结论：
$\boxed{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \text{ 且 } \bar{X} \text{ 与 } S^2 \text{ 相互独立}}$

解析

本题考查正态总体下样本均值和样本方差的分布以及它们之间的独立性，解题思路是先明确样本均值和样本方差的定义，再通过标准化变换将样本数据转化为标准正态分布，利用卡方分布的性质来推导样本方差的分布，最后根据相关性质证明样本均值与样本方差的独立性。

  1. 样本均值和样本方差的定义：
    • 已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本为 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。
    • 根据正态分布的性质，若 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，$i = 1,2,\cdots,n$，且相互独立，则样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布，且 $E(\bar{X}) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$，$D(\bar{X}) = D(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i)=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i)=\frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$，所以 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
  2. 样本方差的分布推导：
    • 令 $Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$，因为 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，所以 $Y_i \sim N(0, 1)$，且 $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ 相互独立。
    • 根据卡方分布的定义，若 $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0, 1)$，则 $\sum_{i=1}^n Y_i^2 \sim \chi^2(n)$。
    • 又因为 $\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}Y_i=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$，所以 $n\bar{Y}^2 = n(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma})^2$，且 $n\bar{Y}^2$ 可看作是一个标准正态分布变量的平方，所以 $n\bar{Y}^2 \sim \chi^2(1)$。
    • 对 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 进行变形：
      $\begin{align*}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2&=\sum_{i=1}^n [(X_i - \mu)-(\bar{X}-\mu)]^2\\&=\sum_{i=1}^n [(X_i - \mu)^2 - 2(X_i - \mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2]\\&=\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 - n(\bar{X}-\mu)^2\\&=\sigma^2\sum_{i=1}^n (\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2 - \sigma^2n(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma})^2\\&=\sigma^2\left(\sum_{i=1}^n Y_i^2 - n\bar{Y}^2\right)\end{align*}$
    • 则 $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}=\frac{(n - 1)}{\sigma^2}\cdot\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2=\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$。
    • 由于 $\sum_{i=1}^n Y_i^2$ 是 $n$ 个独立标准正态分布变量的平方和，$n\bar{Y}^2$ 是一个标准正态分布变量的平方，且 $\bar{Y}$ 与 $Y_i-\bar{Y}$ 独立，根据卡方分布的可加性，$\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2=\sum_{i=1}^n Y_i^2 - n\bar{Y}^2\sim\chi^2(n - 1)$，即 $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。
  3. 独立性证明：
    • 因为 $\bar{Y}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$，$\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$，且在正态总体下，$\bar{Y}$ 与 $\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2$ 独立，所以 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。