546 已知随机变量X1,x2,···Xn相互独立且 (X)_(i)=mu , (x)_(i)=(e)^2gt 0, 记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 则-|||-_(1)-overline (x) 与 _(2)-overline (X)-|||-(A)不相关且相互独立. (B)不相关且相互不独立.-|||-(C)相关且相互独立. (D)相关且相互不独立.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差、相关性与独立性的关系，以及样本均值的性质。

解题核心思路：

1. 相关性判断：通过计算两个随机变量$X_1 - \overline{X}$与$X_2 - \overline{X}$的协方差，判断是否相关。
2. 独立性判断：结合独立随机变量的线性组合特性，分析两者是否保持独立性。

破题关键点：

• 协方差展开：利用协方差的线性性质，将问题转化为对原变量协方差的计算。
• 样本均值的性质：$\overline{X}$是各$X_i$的线性组合，导致$X_i - \overline{X}$之间存在隐含的依赖关系。

协方差计算

计算$X_1 - \overline{X}$与$X_2 - \overline{X}$的协方差：
$\begin{aligned}\text{Cov}(X_1 - \overline{X}, X_2 - \overline{X}) &= \text{Cov}\left(X_1 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, X_2 - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right) \\&= \text{Cov}\left(X_1, X_2\right) - \frac{1}{n}\text{Cov}\left(X_1, \sum_{j=1}^n X_j\right) \\&\quad - \frac{1}{n}\text{Cov}\left(\sum_{i=1}^n X_i, X_2\right) + \frac{1}{n^2}\text{Cov}\left(\sum_{i=1}^n X_i, \sum_{j=1}^n X_j\right).\end{aligned}$

各项化简

1. 第一项：$\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$（$X_1$与$X_2$独立）。
2. 第二项：$\text{Cov}(X_1, \sum_{j=1}^n X_j) = \sum_{j=1}^n \text{Cov}(X_1, X_j) = \text{Cov}(X_1, X_1) = \sigma^2$。
3. 第三项：同理，$\text{Cov}(\sum_{i=1}^n X_i, X_2) = \sigma^2$。
4. 第四项：$\text{Cov}(\sum_{i=1}^n X_i, \sum_{j=1}^n X_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \text{Cov}(X_i, X_j) = n\sigma^2$（仅对角线项非零）。

代入得：
$\text{Cov}(X_1 - \overline{X}, X_2 - \overline{X}) = 0 - \frac{\sigma^2}{n} - \frac{\sigma^2}{n} + \frac{n\sigma^2}{n^2} = -\frac{\sigma^2}{n} \neq 0.$

独立性分析

虽然原变量$X_1, X_2, \dots, X_n$相互独立，但$\overline{X}$是它们的线性组合，导致$X_1 - \overline{X}$与$X_2 - \overline{X}$之间存在依赖关系。例如，若$X_1$偏大，则$\overline{X}$可能增大，从而$X_2 - \overline{X}$的值会受到间接影响，因此两者不独立。