14 设随机变量X的分布函数为F(X)，则我们可作出分布函数（）A. 2F(x)B. F(2x)C. F(x²)D. F(|x|)

本题考查分布函数的性质，解题的关键在于依据分布函数的三个基本性质来逐一判断各个选项是否能构成分布函数。分布函数 $F(x)$ 需满足以下性质：

1. $0\leq F(x)\leq1$，对于任意 $x\in R$；
2. $F(x)$ 是单调不减函数，即若 $x_1 \lt x_2$，则 $F(x_1)\leq F(x_2)$；
3. $\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$，$\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1$。

选项A：判断 $2F(x)$ 是否为分布函数

• 性质1：已知 $0\leq F(x)\leq1$，那么 $0\leq 2F(x)\leq2$，不满足分布函数 $0\leq F(x)\leq1$ 的性质，所以 $2F(x)$ 不是分布函数。

选项B：判断 $F(2x)$ 是否为分布函数

• 性质1：因为 $F(x)$ 满足 $0\leq F(x)\leq1$，对于 $F(2x)$，令 $t = 2x$，$t\in R$，所以 $0\leq F(2x)\leq1$，满足分布函数的取值范围性质。
• 性质2：设 $x_1 \lt x_2$，则 $2x_1 \lt 2x_2$。由于 $F(x)$ 是单调不减函数，所以 $F(2x_1)\leq F(2x_2)$，即 $F(2x)$ 是单调不减函数。
• 性质3：
  • $\lim_{x\rightarrow-\infty}F(2x)$，令 $t = 2x$，当 $x\rightarrow-\infty$ 时，$t\rightarrow-\infty$，所以 $\lim_{x\rightarrow-\infty}F(2x)=\lim_{t\rightarrow-\infty}F(t)=0$。
  • $\lim_{x\rightarrow+\infty}F(2x)$，令 $t = 2x$，当 $x\rightarrow+\infty$ 时，$t\rightarrow+\infty$，所以 $\lim_{x\rightarrow+\infty}F(2x)=\lim_{t\rightarrow+\infty}F(t)=1$。
    满足分布函数在正负无穷处的极限性质。因此，$F(2x)$ 是分布函数。

选项C：判断 $F(x^2)$ 是否为分布函数

• 性质2：设 $x_1 \lt 0$，$x_2\gt{}0$ 且 $|x_1|\gt{}|x_2|$，则 $x_1^2 \gt x_2^2$。因为 $F(x)$ 单调不减，所以 $F(x_1^2)\geq F(x_2^2)$。但 $x_1 \lt x_2$，这与单调不减函数的定义矛盾，所以 $F(x^2)$ 不是单调不减函数，不是分布函数。

选项D：判断 $F(|x|)$ 是否为分布函数

• 性质2：设 $x_1 \lt 0$，$x_2\gt{}0$ 且 $|x_1|\gt{}|x_2|$，则 $|x_1| \gt |x_2|$。因为 $F(x)$ 单调不减，所以 $F(|x_1|)\geq F(|x_2|)$。但 $x_1 \lt x_2$，这与单调不减函数的定义矛盾，所以 $F(|x|)$ 不是单调不减函数，不是分布函数。