某批矿砂的5个样品中的镍含量经测定为(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布,问在=0.01下能否接受假设:这批矿砂的镍含量均值为3.25。

本题考查正态总体均值的假设检验，具体是在总体方差未知的情况下，使用t检验来判断是否接受关于总体均值的假设。解题思路如下：

1. 提出原假设和备择假设：
   • 原假设 $H_0:\mu = 3.25$，表示这批矿砂的镍含量均值为3.25。
   • 备择假设 $H_1:\mu\neq 3.25$，表示这批矿砂的镍含量均值不为3.25。
2. 计算样本均值$\overline{x}$：
   • 样本均值$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$，其中$n = 5$，$x_1 = 3.25$，$x_2 = 3.27$，$x_3 = 3.24$，$x_4 = 3.26$，$x_5 = 3.24$。
   • $\overline{x}=\frac{3.25 + 3.27+3.24 + 3.26+3.24}{5}=\frac{16.26}{5}=3.252$。
3. 计算样本标准差$s$：
   • 样本标准差$s=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}$。
   • 先计算$(x_i-\overline{x})^2$的值：
     • $(3.25 - 3.252)^2=(-0.002)^2 = 4\times10^{-6}$；
     • $(3.27 - 3.252)^2=(0.018)^2 = 3.24\times10^{-4}$；
     • $(3.24 - 3.252)^2=(-0.012)^2 = 1.44\times10^{-4}$；
     • $(3.26 - 3.252)^2=(0.008)^2 = 6.4\times10^{-5}$；
     • $(3.24 - 3.252)^2=(-0.012)^2 = 1.44\times10^{-4}$。
   • 则$\sum_{i = 1}^{5}(x_i-\overline{x})^2=4\times10^{-6}+3.24\times10^{-4}+1.44\times10^{-4}+6.4\times10^{-5}+1.44\times10^{-4}$
     • $=4\times10^{-6}+(3.24 + 1.44+1.44)\times10^{-4}+6.4\times10^{-5}$
     • $=4\times10^{-6}+6.12\times10^{-4}+6.4\times10^{-5}$
     • $=4\times10^{-6}+61.2\times10^{-6}+6.4\times10^{-6}$
     • $=(4 + 61.2+6.4)\times10^{-6}=71.6\times10^{-6}$。
   • 所以$s=\sqrt{\frac{71.6\times10^{-6}}{5 - 1}}=\sqrt{17.9\times10^{-6}}\approx 0.00423$。
4. 计算t统计量：
   • 当$H_0$成立时，$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$，这里$\mu_0 = 3.25$，$n = 5$。
   • $t=\frac{3.252 - 3.25}{0.00423/\sqrt{5}}=\frac{0.002}{0.00423/2.236}$
   • $=\frac{0.002\times2.236}{0.00423}\approx1.644$。
5. 确定拒绝域：
   • 对于双侧检验，显著性水平$\alpha = 0.01$，自由度$n - 1=4$，查t分布表得$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)=t_{0.005}(4)=4.6041$。
   • 拒绝域为$\vert t\vert>t_{0.005}(4)$。
6. 做出决策：
   • 由于$\vert t\vert = 1.644<t_{0.005}(4)=4.6041$，所以接受原假设$H_0$，即接受这批矿砂的镍含量均值为3.25。