设 X sim N(mu, sigma^2) 且 sigma^2 未知，若样本容量为 n，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则 mu 的 95% 的置信区间为().A. (overline(x) pm (sigma)/(sqrt(n)) mu_(0.025))B. (overline(x) pm (s)/(sqrt(n)) t_(0.05)(n-1))C. (overline(x) pm (s)/(sqrt(n)) t_(0.025)(n))D. (overline(x) pm (s)/(sqrt(n)) t_(0.025)(n-1))

本题考查正态总体均值在方差未知时的置信区间的知识点。解题思路如下：

1. 首先明确已知条件，总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 且方差 $\sigma^{2}$ 未知，样本容量为 $n$，要构建 $\mu$ 的 95% 的置信区间。
2. 当总体方差 $\sigma^{2}$ 未知时，我们使用 $t$ - 分布来构建总体均值 $\mu$ 的置信区间。此时统计量 $T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差。
3. 对于 95% 的置信区间，意味着置信水平 $1-\alpha=0.95$，那么 $\alpha = 1 - 0.95=0.05$。
4. 由于分位数指定为“上侧分位数”，根据 $t$ - 分布的性质，我们有 $P\left\{-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)<\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}<t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\right\}=1-\alpha$。
5. 对不等式 $-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)<\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}<t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 进行变形求解 $\mu$ 的范围：
   • 先将不等式各项同时乘以 $\frac{S}{\sqrt{n}}$，得到 $-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}<\overline{X}-\mu<t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$。
   • 然后将不等式各项同时减去 $\overline{X}$，得到 $-\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}<-\mu<-\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$。
   • 最后将不等式各项同时乘以 $- 1$，不等号方向改变，得到 $\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$，即 $\mu$ 的置信区间为 $\left(\overline{X}\pm\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\right)$。
6. 把 $\alpha = 0.05$ 代入，可得 $\frac{\alpha}{2}=0.025$，所以 $\mu$ 的 95% 的置信区间为 $\left(\overline{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}t_{0.025}(n - 1)\right)$。