题目
若lambda=(1)/(3)overline(X)+alpha S^2为Poisson总体pi(lambda)中lambda >0的无偏估计，则alpha=A. 1/3B. 2/3C. 1D. 4/3
若$\lambda=\frac{1}{3}\overline{X}+\alpha S^2$为Poisson总体$\pi(\lambda)$中$\lambda >0$的无偏估计，则$\alpha=$
A. 1/3
B. 2/3
C. 1
D. 4/3
题目解答
答案
B. 2/3
解析
步骤 1：理解泊松总体的性质
泊松总体 $\pi(\lambda)$ 的样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $S^2$ 的期望值均为 $\lambda$。即 $E(\overline{X}) = \lambda$ 和 $E(S^2) = \lambda$。
步骤 2：计算估计量的期望值
估计量 $\hat{\lambda} = \frac{1}{3}\overline{X} + \alpha S^2$ 的期望值为：\[ E(\hat{\lambda}) = \frac{1}{3}E(\overline{X}) + \alpha E(S^2) = \frac{1}{3}\lambda + \alpha \lambda \]
步骤 3：确定无偏估计的条件
为使 $\hat{\lambda}$ 无偏，需满足 $E(\hat{\lambda}) = \lambda$，即：\[ \frac{1}{3}\lambda + \alpha \lambda = \lambda \implies \frac{1}{3} + \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{2}{3} \]
泊松总体 $\pi(\lambda)$ 的样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $S^2$ 的期望值均为 $\lambda$。即 $E(\overline{X}) = \lambda$ 和 $E(S^2) = \lambda$。
步骤 2：计算估计量的期望值
估计量 $\hat{\lambda} = \frac{1}{3}\overline{X} + \alpha S^2$ 的期望值为：\[ E(\hat{\lambda}) = \frac{1}{3}E(\overline{X}) + \alpha E(S^2) = \frac{1}{3}\lambda + \alpha \lambda \]
步骤 3：确定无偏估计的条件
为使 $\hat{\lambda}$ 无偏，需满足 $E(\hat{\lambda}) = \lambda$，即：\[ \frac{1}{3}\lambda + \alpha \lambda = \lambda \implies \frac{1}{3} + \alpha = 1 \implies \alpha = \frac{2}{3} \]