(1)用普通最小二乘法建立y与x的回归方程,并画出残差散点图。-|||-(2)诊断该问题是否存在异方差性。-|||-(3)如果存在异方差性,用幂指数型的权函数建立加权最小二乘回归方程。-|||-(4)用方差稳定变换 '=sqrt (y) 消除异方差性。-|||-表 4-11-|||-用户序号 x y 用户序号 x y-|||-1 679 0.79 28 1748 4.88-|||-2 292 0.44 29 1381 3.48-|||-3 1012 0.56 30 1428 7.58-|||-4 493 0.79 31 1255 2.63-|||-5 582 2.70 32 1777 4.99-|||-6 1156 3.64 33 370 0.59-|||-7 997 4.73 34 2316 8.19-|||-8 2189 9.50 35 1130 4.79-|||-9 1097 5.34 36 463 0.51-|||-10 2078 6.85 37 770 1.74-|||-11 1818 5.84 38 724 4.10-|||-12 1700 5.21 39 808 3.94-|||-13 747 3.25 40 790 0.96-|||-14 2030 4.43 41 783 3.29-|||-15 1643 3.16 42 406 0.44-|||-16 414 0.50 43 1242 3.24-|||-17 354 0.17 44 658 2.14-|||-18 1276 1.88 45 1746 5.71-|||-19 745 0.77 46 468 0.64-|||-20 435 1.39 47 1114 1.90-|||-21 540 0.56 48 413 0.51-|||-22 874 1.56 49 1787 8.33-|||-23 1543 5.28 50 3560 14.94-|||-24 1029 0.64 51 1495 5.11-|||-25 710 4.00 52 2221 3.85-|||-26 1434 0.31 53 1526 3.93-|||-27 837 4.20

1. 回归方程建立：考查普通最小二乘法（OLS）的应用，通过公式 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$ 计算回归系数，需注意残差散点图的作用是观察残差与拟合值的关系。
2. 异方差诊断：核心思路是检验残差绝对值与解释变量 $x$ 的相关性。若存在显著相关性（如等级相关系数 $|\rho|$ 较大且 $P$ 值小），则说明存在异方差。
3. 加权最小二乘法：通过选择合适的权函数（如 $w_i = x_i^m$），调整权重后重新回归，需验证加权残差是否消除异方差。
4. 方差稳定变换：通过变换因变量 $y' = \sqrt{y}$ 降低异方差影响，需验证变换后模型的拟合效果和残差特性。

第（1）题

普通最小二乘回归

根据 OLS 公式计算回归系数：
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
代入数据得 $\hat{y} = -0.831 + 0.00368x$，$R^2 = 0.705$。

残差散点图

绘制残差 $\hat{e}_i$ 与拟合值 $\hat{y}_i$ 的散点图，观察残差是否呈现随拟合值变化的规律性。

第（2）题

等级相关检验

计算残差绝对值 $|\hat{e}_i|$ 与 $x$ 的斯皮尔曼等级相关系数 $\rho = 0.318$，$P$ 值为 $0.021$（小于显著性水平 $0.05$），说明存在异方差。

第（3）题

确定权函数

选择幂指数型权函数 $w_i = x_i^m$，通过试算不同 $m$ 值，发现 $m = 1.5$ 时加权残差与 $x$ 的相关性消失（$\rho = -0.076$，$P = 0.591$），但 $R^2$ 下降至 $0.659$。

第（4）题

方差稳定变换

对因变量做变换 $y' = \sqrt{y}$，重新回归得 $\hat{y}' = 0.5822 + 0.0009529x$，计算残差后验证 $\rho = 0.160$（$P = 0.254$），异方差消除，且 $R^2 = 0.710$ 优于 OLS。