题目

(1)设随机变量X1,X2,X3相互独立,且有 _(1)sim b(4,dfrac (1)(2)) _(2)sim -|||-(6,dfrac (1)(3)), _(3)sim b(6,dfrac (1)(3)), 求 {X)_(1)=2,(X)_(2)=2,(X)_(3)=5} , E(X1X2X3 ), ((X)_(1)--|||-_(2)), ((X)_(1)-2(X)_(2)).-|||-(2)设X,Y是随机变量,且有 E(X)=3 (Y)=1, (X)=4, (Y)=9,-|||-令 =5x-y+15, 分别在下列3种情况下求E(Z)和D(Z ).-|||-(i)X,Y相互独立,(ii)X,Y不相关,(iii) X与Y的相关系数为0.25.


题目解答

答案

解析

本题主要考查二项分布的概率计算、期望和方差的性质以及随机变量线性组合的期望和方差的计算。

（1）

  • 计算$P\{ X_{1}=2,X_{2}=2,X_{3}=5\}$：
    已知$X_1,X_2,X_3$相互独立，根据独立事件的概率乘法公式$P(AB)=P(A)P(B)$，可得$P\{ X_{1}=2,X_{2}=2,X_{3}=5\}=P\{ X_{1}=2\}P\{ X_{2}=2\}P\{ X_{3}=5\}$。
    若随机变量$X\sim b(n,p)$，则$P\{X = k\} = C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$。
    • 对于$X_1\sim b(4,\frac{1}{2})$，$n_1 = 4$，$p_1 = \frac{1}{2}$，$k_1 = 2$，则$P\{ X_{1}=2\} = C_{4}^{2}(\frac{1}{2})^{2}(1 - \frac{1}{2})^{4 - 2}$。
      根据组合数公式$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得$C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6$，所以$P\{ X_{1}=2\} = 6\times(\frac{1}{2})^{2}\times(\frac{1}{2})^{2}=6\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{6}{16}$。
    • 对于$X_2\sim b(6,\frac{1}{3})$，$n_2 = 6$，$p_2 = \frac{1}{3}$，$k_2 = 2$，则$P\{ X_{2}=2\} = C_{6}^{2}(\frac{1}{3})^{2}(1 - \frac{1}{3})^{6 - 2}$。
      $C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15$，所以$P\{ X_{2}=2\} = 15\times(\frac{1}{3})^{2}\times(\frac{2}{3})^{4}=15\times\frac{1}{9}\times\frac{16}{81}=\frac{15\times16}{9\times81}$。
    • 对于$X_3\sim b(6,\frac{1}{3})$，$n_3 = 6$，$p_3 = \frac{1}{3}$，$k_3 = 5$，则$P\{ X_{3}=5\} = C_{6}^{5}(\frac{1}{3})^{5}(1 - \frac{1}{3})^{6 - 5}$。
      $C_{6}^{5}=\frac{6!}{5!(6 - 5)!}=6$，所以$P\{ X_{3}=5\} = 6\times(\frac{1}{3})^{5}\times\frac{2}{3}=6\times\frac{1}{243}\times\frac{2}{3}=\frac{12}{729}$。
      则$P\{ X_{1}=2,X_{2}=2,X_{3}=5\}=\frac{6}{16}\times\frac{15\times16}{9\times81}\times\frac{12}{729}=\frac{6\times15\times12}{9\times81\times729}\approx0.00203$。
  • 计算$E(X_1X_2X_3)$：
    因为$X_1,X_2,X_3$相互独立，根据期望的性质$E(XY)=E(X)E(Y)$（$X,Y$相互独立），可得$E(X_1X_2X_3)=E(X_1)E(X_2)E(X_3)$。
    若随机变量$X\sim b(n,p)$，则$E(X)=np$。
    • $E(X_1)=n_1p_1 = 4\times\frac{1}{2}=2$。
    • $E(X_2)=n_2p_2 = 6\times\frac{1}{3}=2$。
    • $E(X_3)=n_3p_3 = 6\times\frac{1}{3}=2$。
      所以$E(X_1X_2X_3)=2\times2\times2 = 8$。
  • 计算$E(X_1 - X_2)$：
    根据期望的性质$E(X - Y)=E(X) - E(Y)$，可得$E(X_1 - X_2)=E(X_1) - E(X_2)=2 - 2 = 0$。
  • 计算$E(X_1 - 2X_2)$：
    根据期望的性质$E(aX + bY)=aE(X) + bE(Y)$（$a,b$为常数），可得$E(X_1 - 2X_2)=E(X_1) - 2E(X_2)=2 - 2\times2 = -2$。

（2）

已知$E(X)=3$，$E(Y)=1$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，$Z = 5X - Y + 15$。

  • 计算$E(Z)$：
    根据期望的性质$E(aX + bY + c)=aE(X) + bE(Y) + c$（$a,b,c$为常数），可得$E(Z)=E(5X - Y + 15)=5E(X) - E(Y) + 15=5\times3 - 1 + 15 = 15 - 1 + 15 = 29$。
    在$X,Y$相互独立、不相关、相关系数为$0.25$这三种情况下，$E(Z)$的值都不变，因为期望的计算不依赖于随机变量之间的相关性。
  • 计算$D(Z)$：
    根据方差的性质$D(aX + bY + c)=a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)$（$a,b,c$为常数），其中$Cov(X,Y)$为$X$与$Y$的协方差。
    • (i) $X,Y$相互独立：
      当$X,Y$相互独立时，$Cov(X,Y)=0$，则$D(Z)=D(5X - Y + 15)=5^2D(X) + (-1)^2D(Y) + 2\times5\times(-1)\times0=25\times4 + 9 = 100 + 9 = 109$。
    • (ii) $X,Y$不相关：
      $X,Y$不相关意味着$Cov(X,Y)=0$，所以$D(Z)=D(5X - Y + 15)=5^2D(X) + (-1)^2D(Y) + 2\times5\times(-1)\times0=25\times4 + 9 = 109$。
    • (iii) $X$与$Y$的相关系数为$0.25$：
      已知相关系数$\rho_{XY}=0.25$，根据相关系数的定义$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，可得$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.25\times\sqrt{4\times9}=0.25\times2\times3 = 1.5$。
      则$D(Z)=D(5X - Y + 15)=5^2D(X) + (-1)^2D(Y) + 2\times5\times(-1)\times1.5=25\times4 + 9 - 15 = 100 + 9 - 15 = 94$。