题目
241 (2020四川)设f(x)=}(sin x+e^2ax-1)/(x),&xneq0,a,&x=0,在x=0处连续，则a=____.
241 (2020四川)设$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x+e^{2ax}-1}{x},&x\neq0,\\a,&x=0,\end{cases}$在x=0处连续，则a=____.
题目解答
答案
为了确保函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，需满足 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。计算极限：
$$
\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^{2ax} - 1}{x}.
$$
利用等价无穷小代换：$\sin x \sim x$，$e^{2ax} - 1 \sim 2ax$，得
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^{2ax} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 2ax}{x} = 1 + 2a.
$$
由连续性，$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a$，故
$$
1 + 2a = a \implies a = -1.
$$
**答案：** $\boxed{-1}$
解析
考查要点：本题主要考查函数在某点连续的定义及极限的计算方法，特别是利用等价无穷小代换简化极限运算的能力。
解题核心思路：
函数在$x=0$处连续的条件是$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。因此，需先计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^{2ax} - 1}{x}$，再令其等于$a$，解方程求出$a$的值。
破题关键点：
- 等价无穷小代换：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$e^{2ax} - 1 \sim 2ax$，可将分子中的非多项式项转化为多项式形式，简化极限计算。
- 极限与连续性条件结合：通过等式$\lim_{x \to 0} f(x) = a$建立方程，求解$a$。
步骤1：计算极限$\lim_{x \to 0} f(x)$
当$x \neq 0$时，$f(x) = \frac{\sin x + e^{2ax} - 1}{x}$。利用等价无穷小代换：
- $\sin x \sim x$（当$x \to 0$时）
- $e^{2ax} - 1 \sim 2ax$（当$x \to 0$时）
将分子代换后得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^{2ax} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 2ax}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(1 + 2a)}{x} = 1 + 2a.$
步骤2：利用连续性条件求$a$
根据连续性，$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a$，因此：
$1 + 2a = a \implies a = -1.$