考察知识点【非齐次线性方程组解的结构与性质】[}a_(11)x_(1) + a_(12)x_(2) + ... + a_(1n)x_(n) = b_(1), a_(21)x_(1) + a_(22)x_(2) + ... + a_(2n)x_(n) = b_(2), ... a_(m1)x_(1) + a_(m2)x_(2) + ... + a_(mn)x_(n) = b_(m)., b ____.Leftrightarrow 方程组 Ax = b 有____.请从“线性相关”、“线性无关”、“唯一解”、“无穷解”、“无解”中选择填写。
考察知识点【非齐次线性方程组解的结构与性质】
$
\begin{cases}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1}, \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}, \\
\cdots \\
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}.
\end{cases}
$
矩阵形式:$Ax = b$
向量组合形式:$x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = b$
$R(A) = R(B) = n \Leftrightarrow$ 向量组 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, ..., $\alpha_{n}$ ____;
向量组 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, ..., $\alpha_{n}$, $b$ ____.
$\Leftrightarrow$ 方程组 $Ax = b$ 有____.
请从“线性相关”、“线性无关”、“唯一解”、“无穷解”、“无解”中选择填写。
题目解答
答案
当 $R(A) = R(B) = n$ 时,
- 系数矩阵 $A$ 的秩等于列数 $n$,说明向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关。
- 增广矩阵 $B$ 的秩等于 $n$,说明向量 $b$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示,即向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, b$ 线性相关。
- 由秩的条件,方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
答案:
$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{向量组 } \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n & \text{线性无关}, \\\text{向量组 } \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, b & \text{线性相关}, \\\text{方程组 } Ax = b & \text{有唯一解}.\end{array}}$