题目
22. (12.0分) A=(}0&3&31&1&01&2&3为A的伴随矩阵,求X.
22. (12.0分) $A=\left(\begin{matrix}0&3&3\\1&1&0\\1&2&3\end{matrix}\right)$,3阶方阵X满足 $AXA^{*}=3AX-9A$,其中$A^{*}$为A的伴随矩阵,求X.
题目解答
答案
设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$，则 $|A| = -6$。由 $AXA^* = 3AX - 9A$，利用 $A^* = \frac{1}{|A|}A^{-1}|A|^2$，得
\[
X = 3A(A + 2I)^{-1}.
\]
计算 $A + 2I = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$，其行列式为 $12$，逆矩阵为
\[
(A + 2I)^{-1} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 15 & -9 & -9 \\ -5 & 7 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]
因此，
\[
X = \frac{3}{12} A \begin{pmatrix} 15 & -9 & -9 \\ -5 & 7 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -\frac{9}{2} & \frac{9}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}}.
\]