题目

18.(应用题，10.0分)甲向乙传递情报，情报以矩阵的形式进行传递，且情报矩阵中的元素按照26个英文字母对应数字1到26。为避免第三人窃取情报，两人商定对情报矩阵进行加密，为此引入加密矩阵X=(}1&3&31&4&31&3&4)，且AX=B，求甲发送的情报矩阵A，并将破译后的情报矩阵A中的每一列的字母排列成一行写出结果(用小写字母写结果).(写出解答过程，可拍照上传至答题区)

18.(应用题，10.0分) 甲向乙传递情报，情报以矩阵的形式进行传递，且情报矩阵中的元素按照26个英文字母对应数字1到26。为避免第三人窃取情报，两人商定对情报矩阵进行加密，为此引入加密矩阵$X=\left(\begin{matrix}1&3&3\\1&4&3\\1&3&4\end{matrix}\right)$，设甲发送的情报矩阵为A(矩阵中每一列的每一个数字对应一个字母)，乙收到的情报矩阵为$B=\left(\begin{matrix}40&145&133\\27&102&86\\32&110&105\end{matrix}\right)$，且$AX=B$，求甲发送的情报矩阵A，并将破译后的情报矩阵A中的每一列的字母排列成一行写出结果(用小写字母写结果).(写出解答过程，可拍照上传至答题区)

题目解答

答案

设加密矩阵 $X = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$，加密后的情报矩阵 $B = \begin{pmatrix} 40 & 145 & 133 \\ 27 & 102 & 86 \\ 32 & 110 & 105 \end{pmatrix}$。
由 $AX = B$，得 $A = BX^{-1}$。
首先，计算 $X$ 的逆矩阵：
$\det(X) = 1 \times (4 \times 4 - 3 \times 3) - 3 \times (1 \times 4 - 1 \times 3) + 3 \times (1 \times 3 - 1 \times 4) = 7 - 3 - 3 = 1$
伴随矩阵 $\text{adj}(X) = \begin{pmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，故 $X^{-1} = \text{adj}(X)$。
计算 $A = BX^{-1}$：
$A = \begin{pmatrix} 40 & 145 & 133 \\ 27 & 102 & 86 \\ 32 & 110 & 105 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 25 & 13 \\ 1 & 21 & 5 \\ 9 & 14 & 9 \end{pmatrix}$
将矩阵 $A$ 转换为字母（1-26对应a-z）：

  • 第一列：2, 1, 9 → b, a, i
  • 第二列：25, 21, 14 → y, u, n
  • 第三列：13, 5, 9 → m, e, i
    最终结果为：baiyunmei。

答案：
$A = \boxed{\begin{pmatrix} 2 & 25 & 13 \\ 1 & 21 & 5 \\ 9 & 14 & 9 \end{pmatrix}}$
破译后的情报为：$\boxed{\text{baiyunmei}}$。

解析

本题考查矩阵的运算以及矩阵元素与字母的转换。解题思路是先根据已知条件求出矩阵$A$的表达式，再计算矩阵$X$的逆矩阵，最后通过矩阵乘法求出矩阵$A$，并将矩阵$A$中的元素转换为对应的字母。

  1. 由$AX = B$，等式两边同时右乘$X^{-1}$，可得$A = BX^{-1}$。
  2. 计算矩阵$X$的逆矩阵：
    • 首先计算矩阵$X$的行列式$\det(X)$：
      $\det(X)=1\times(4\times4 - 3\times3)-3\times(1\times4 - 1\times3)+3\times(1\times3 - 1\times4)$
      $=1\times(16 - 9)-3\times(4 - 3)+3\times(3 - 4)$
      $=7 - 3 - 3 = 1$
    • 因为$\det(X)=1\neq0$，所以矩阵$X$可逆。
    • 接着求矩阵$X$的伴随矩阵$\text{adj}(X)$：
      $\text{adj}(X)=\begin{pmatrix}7&-3&-3\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$
    • 由于$\det(X)=1$，所以$X^{-1}=\text{adj}(X)=\begin{pmatrix}7&-3&-3\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$。
  3. 计算矩阵$A$：
    $A = BX^{-1}=\begin{pmatrix}40&145&133\\27&102&86\\32&110&105\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&-3&-3\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$
    $=\begin{pmatrix}40\times7 + 145\times(-1)+133\times(-1)&40\times(-3)+145\times1+133\times0&40\times(-3)+145\times0+133\times1\\27\times7 + 102\times(-1)+86\times(-1)&27\times(-3)+102\times1+86\times0&27\times(-3)+102\times0+86\times1\\32\times7 + 110\times(-1)+105\times(-1)&32\times(-3)+110\times1+105\times0&32\times(-3)+110\times0+105\times1\end{pmatrix}$
    $=\begin{pmatrix}280 - 145 - 133&-120 + 145&-120 + 133\\189 - 102 - 86&-81 + 102&-81 + 86\\224 - 110 - 105&-96 + 110&-96 + 105\end{pmatrix}$
    $=\begin{pmatrix}2&25&13\\1&21&5\\9&14&9\end{pmatrix}$
  4. 将矩阵$A$中的元素转换为对应的字母：
    • 第一列：$2$对应$b$，$1$对应$a$，$9$对应$i$。
    • 第二列：$25$对应$y$，$21$对应$u$，$14$对应$n$。
    • 第三列：$13$对应$m$，$5$对应$e$，$9$对应$i$。
    • 最终结果为$\text{baiyunmei}$。