题目

已知 X 和 Y 相互独立，且 X sim N(1,1)，Y sim N(2,2)，则 X+Y sim _____________.

已知 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(1,1)$，$Y \sim N(2,2)$，则 $X+Y \sim$ _____________.

题目解答

答案

已知 $X \sim N(1, 1)$，$Y \sim N(2, 2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。根据正态分布的性质，两个独立的正态随机变量的和仍服从正态分布，其均值为两变量均值之和，方差为两变量方差之和。 具体计算如下： 1. 均值：$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 1 + 2 = 3$。 2. 方差：$\sigma^2_{X+Y} = \sigma^2_X + \sigma^2_Y = 1 + 2 = 3$。 因此，$X + Y \sim N(3, 3)$。 答案：$X + Y \sim N(3, 3)$。

解析

本题考查正态分布的性质。解题思路是利用两个相互独立的正态随机变量的和仍服从正态分布这一性质，通过分别计算和的均值与方差来确定$X + Y$所服从的正态分布。

已知$X\sim N(1,1)$，$Y\sim N(2,2)$，且$X$与$Y$相互独立。

  1. 计算$X + Y$的均值：
    对于两个相互独立的随机变量$X$和$Y$，它们和的均值等于各自均值之和，即$\mu_{X + Y}=\mu_X+\mu_Y$。
    已知$\mu_X = 1$，$\mu_Y = 2$，将其代入公式可得：
    $\mu_{X + Y}=1 + 2=3$
  2. 计算$X + Y$的方差：
    对于两个相互独立的随机变量$X$和$Y$，它们和的方差等于各自方差之和，即$\sigma_{X + Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$。
    已知$\sigma_X^2 = 1$，$\sigma_Y^2 = 2$，将其代入公式可得：
    $\sigma_{X + Y}^2=1 + 2=3$

由于$X$和$Y$相互独立且都服从正态分布，所以$X + Y$服从正态分布，且均值为$3$，方差为$3$，即$X + Y\sim N(3,3)$。