用雅可比迭代法求解线性方程组 } 8x_1 + x_2 - 2x_3 = -8 3x_1 - 12x_2 + 4x_3 = -23 2x_1 - 5x_2 - 10x_3 = -22 = (0,0,0)^T 为迭代初值，迭代 2 步求得近似解即可。(精确解：x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 1)
用雅可比迭代法求解线性方程组 $\begin{cases} 8x_1 + x_2 - 2x_3 = -8 \\ 3x_1 - 12x_2 + 4x_3 = -23 \\ 2x_1 - 5x_2 - 10x_3 = -22 \end{cases}$，以 $x^{(0)} = (0,0,0)^T$ 为迭代初值，迭代 2 步求得近似解即可。
(精确解：$x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 1$)
题目解答
答案
将方程组改写为迭代形式：
$\begin{cases}x_1 = \frac{-8 - x_2 + 2x_3}{8} \\x_2 = \frac{23 + 3x_1 + 4x_3}{12} \\x_3 = \frac{22 + 2x_1 - 5x_2}{10}\end{cases}$
初始值：$x^{(0)} = (0, 0, 0)^T$
第一次迭代：
$x_1^{(1)} = \frac{-8}{8} = -1, \quad x_2^{(1)} = \frac{23}{12}, \quad x_3^{(1)} = \frac{22}{10} = 2.2$
解得：$x^{(1)} = (-1, \frac{23}{12}, 2.2)^T$
第二次迭代：
$x_1^{(2)} = \frac{-8 - \frac{23}{12} + 4.4}{8} = -\frac{331}{480}, \quad x_2^{(2)} = \frac{23 - 3 + 8.8}{12} = 2.4, \quad x_3^{(2)} = \frac{22 - 2 - \frac{115}{12}}{10} = \frac{25}{24}$
解得：$x^{(2)} = \left(-\frac{331}{480}, \frac{12}{5}, \frac{25}{24}\right)^T$
答案：
$\boxed{\begin{pmatrix}-\frac{331}{480} \\\frac{12}{5} \\\frac{25}{24}\end{pmatrix}}$
（或近似值：$\boxed{
\begin{pmatrix}
-0.6896 \\
2.4 \\
1.0417
\end{pmatrix}
}$）
解析
本题考查雅可比迭代法求解线性方程组的知识。解题思路是先将给定的线性方程组转化为雅可比迭代形式，然后以给定的初始值开始，按照迭代公式逐次计算每一步的近似解，直到达到要求的迭代次数。
步骤一：将线性方程组改写为雅可比迭代形式
对于线性方程组 $\begin{cases} 8x_1 + x_2 - 2x_3 = -8 \\ 3x_1 - 12x_2 + 4x_3 = -23 \\ 2x_1 - 5x_2 - 10x_3 = -22 \end{cases}$，将其改写为：
$\begin{cases}x_1 = \frac{-8 - x_2 + 2x_3}{8} \\x_2 = \frac{23 + 3x_1 + 4x_3}{12} \\x_3 = \frac{22 + 2x_1 - 5x_2}{10}\end{cases}$
步骤二：确定初始值
已知初始值为 $x^{(0)} = (0, 0, 0)^T$。
步骤三：进行第一次迭代
将 $x_1^{(0)} = 0$，$x_2^{(0)} = 0$，$x_3^{(0)} = 0$ 代入迭代公式：
- $x_1^{(1)} = \frac{-8 - 0 + 2\times0}{8} = -1$
- $x_2^{(1)} = \frac{23 + 3\times0 + 4\times0}{12} = \frac{23}{12}$
- $x_3^{(1)} = \frac{22 + 2\times0 - 5\times0}{10} = 2.2$
所以，第一次迭代后的近似解为 $x^{(1)} = (-1, \frac{23}{12}, 2.2)^T$。
步骤四：进行第二次迭代
将 $x_1^{(1)} = -1$，$x_2^{(1)} = \frac{23}{12}$，$x_3^{(1)} = 2.2$ 代入迭代公式：
- $x_1^{(2)} = \frac{-8 - \frac{23}{12} + 2\times2.2}{8} = \frac{-8 - \frac{23}{12} + 4.4}{8} = \frac{-\frac{96}{12} - \frac{23}{12} + \frac{52.8}{12}}{8} = \frac{-\frac{66.2}{12}}{8} = -\frac{331}{480}$
- $x_2^{(2)} = \frac{23 + 3\times(-1) + 4\times2.2}{12} = \frac{23 - 3 + 8.8}{12} = \frac{28.8}{12} = 2.4 = \frac{12}{5}$
- $x_3^{(2)} = \frac{22 + 2\times(-1) - 5\times\frac{23}{12}}{10} = \frac{22 - 2 - \frac{115}{12}}{10} = \frac{\frac{240 - 24 - 115}{12}}{10} = \frac{\frac{101}{12}}{10} = \frac{25}{24}$
所以，第二次迭代后的近似解为 $x^{(2)} = \left(-\frac{331}{480}, \frac{12}{5}, \frac{25}{24}\right)^T$。