12. (7.0分) 袋中有2个白球和3个黑球，现从中依次摸出两球(无放回)，设X={}1, & 若第一次摸出白球0, & 若第一次摸出黑球.,则(X,Y)的分布律为(). A (}(0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)0 & 1/3 & 1/3 & 1/3) B (}(0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)1/3 & 1/3 & 1/3 & 0) C (}(0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)1/10 & 1/10 & 1/10 & 1/10)
题目解答
答案
根据题目描述，袋中有 $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，共 $5$ 个球。现从中依次摸出两球（无放回）。
随机变量 $X$ 和 $Y$ 的定义如下：
$X = \begin{cases} 1, & \text{若第一次摸出白球} \\ 0, & \text{若第一次摸出黑球} \end{cases}$
$Y = \begin{cases} 1, & \text{若第二次摸出白球} \\ 0, & \text{若第二次摸出黑球} \end{cases}$
我们需要求出二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律，即计算 $(X,Y)$ 取所有可能组合 $(0,0)$、$(0,1)$、$(1,0)$、$(1,1)$ 时的概率。
1. 计算 $P(X=0, Y=0)$：
这表示第一次摸出黑球，且第二次摸出黑球。
- 第一次摸出黑球的概率为 $\frac{3}{5}$。
- 摸出一个黑球后，袋中还剩 $4$ 个球（$2$ 白 $2$ 黑），第二次再摸出黑球的概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
- 因此，$P(X=0, Y=0) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$。
2. 计算 $P(X=0, Y=1)$：
这表示第一次摸出黑球，且第二次摸出白球。
- 第一次摸出黑球的概率为 $\frac{3}{5}$。
- 摸出一个黑球后，袋中还剩 $4$ 个球（$2$ 白 $2$ 黑），第二次摸出白球的概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
- 因此，$P(X=0, Y=1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$。
3. 计算 $P(X=1, Y=0)$：
这表示第一次摸出白球，且第二次摸出黑球。
- 第一次摸出白球的概率为 $\frac{2}{5}$。
- 摸出一个白球后，袋中还剩 $4$ 个球（$1$ 白 $3$ 黑），第二次摸出黑球的概率为 $\frac{3}{4}$。
- 因此，$P(X=1, Y=0) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$。
4. 计算 $P(X=1, Y=1)$：
这表示第一次摸出白球，且第二次摸出白球。
- 第一次摸出白球的概率为 $\frac{2}{5}$。
- 摸出一个白球后，袋中还剩 $4$ 个球（$1$ 白 $3$ 黑），第二次再摸出白球的概率为 $\frac{1}{4}$。
- 因此，$P(X=1, Y=1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$。
将上述计算结果整理成分布律表格：
$\begin{array}{c|cccc}(X,Y) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\\hlineP & \frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10}\end{array}$
对比图片中给出的选项（根据可见部分和参考信息），选项 C 的第一行是 $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(1,1)$，其对应的概率值应为 $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{1}{10}$。
结论：
$(X,Y)$ 的分布律为 $\begin{pmatrix} (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ 3/10 & 3/10 & 3/10 & 1/10 \end{pmatrix}$，对应选项 C。