题目
从均值为3.，方差为3.0" data-width="57" data-height="23" data-size="873" data-format="png" style="max-width:100%">的总体中分别抽取容量为10，20的两个独立样本，3.分别是两样本均值，以下均值3.的估计量中最有效的是（）A，3.B，3.C，3.D，3.
从均值为
，方差为
0" data-width="57" data-height="23" data-size="873" data-format="png" style="max-width:100%">的总体中分别抽取容量为10，20的两个独立样本，
分别是两样本均值，以下均值的估计量中最有效的是（）
A，
B，
C，
D，
题目解答
答案
由于样本均值是总体均值的无偏估计，因此所有选项的期望都是 μ，而有效性可以通过方差来衡量。根据方差加权平均的不等式，方差越小的样本均值在加权平均中的权重就应该越大，因此最有效的估计量应该是方差加权平均最小的那个。所以答案选择为A。
解析
步骤 1：计算样本均值的方差
样本均值的方差为总体方差除以样本容量。因此，对于样本容量为10的样本，样本均值的方差为$\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}$；对于样本容量为20的样本，样本均值的方差为$\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}$。
步骤 2：计算估计量的方差
估计量的方差为各样本均值方差的加权平均。因此，对于选项A，估计量的方差为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{3{\sigma}^{2}}{40}$；对于选项B，估计量的方差为$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{7{\sigma}^{2}}{60}$；对于选项C，估计量的方差为$\dfrac{1}{4}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{11{\sigma}^{2}}{80}$；对于选项D，估计量的方差为$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{5{\sigma}^{2}}{30}$。
步骤 3：比较估计量的方差
比较各选项估计量的方差，可以看出选项A的方差最小，因此选项A的估计量最有效。
样本均值的方差为总体方差除以样本容量。因此，对于样本容量为10的样本，样本均值的方差为$\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}$；对于样本容量为20的样本，样本均值的方差为$\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}$。
步骤 2：计算估计量的方差
估计量的方差为各样本均值方差的加权平均。因此，对于选项A，估计量的方差为$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{3{\sigma}^{2}}{40}$；对于选项B，估计量的方差为$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{7{\sigma}^{2}}{60}$；对于选项C，估计量的方差为$\dfrac{1}{4}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{11{\sigma}^{2}}{80}$；对于选项D，估计量的方差为$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{10}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{{\sigma}^{2}}{20}=\dfrac{5{\sigma}^{2}}{30}$。
步骤 3：比较估计量的方差
比较各选项估计量的方差，可以看出选项A的方差最小，因此选项A的估计量最有效。