题目

设随机变量X~N(1.04,1)，已知P(X≤3)=0.975，则P(X≤-0.92)=____。

题目解答

答案

将 $X \sim N(1.04, 1)$ 转化为标准正态分布 $Z \sim N(0, 1)$，其中 $Z = X - 1.04$。
已知 $P(X \leq 3) = 0.975$，则 $P(Z \leq 1.96) = 0.975$（因 $Z = 3 - 1.04 = 1.96$）。
求 $P(X \leq -0.92)$，即 $P(Z \leq -1.96)$（因 $Z = -0.92 - 1.04 = -1.96$）。
由正态分布的对称性，$P(Z \leq -1.96) = 1 - P(Z \leq 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025$。

答案： $\boxed{0.025}$

解析

本题考查正态分布的性质以及正态分布与标准正态分布的转化。解题的关键思路是先将给定的非标准正态分布随机变量转化为标准正态分布随机变量，再利用正态分布的对称性来求解所需的概率。

将非标准正态分布转化为标准正态分布：
已知随机变量$X\sim N(1.04,1)$，根据正态分布的标准化公式，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，在本题中$\mu = 1.04$，$\sigma = 1$，所以$Z = X - 1.04\sim N(0,1)$。
根据已知条件确定标准正态分布的概率值：
已知$P(X\leq3)=0.975$，将$X = 3$代入$Z = X - 1.04$，可得$Z = 3 - 1.04 = 1.96$，那么$P(X\leq3)=P(Z\leq1.96)=0.975$。
计算所求概率对应的标准正态分布值：
要求$P(X\leq - 0.92)$，将$X = - 0.92$代入$Z = X - 1.04$，可得$Z = - 0.92 - 1.04 = - 1.96$，所以$P(X\leq - 0.92)=P(Z\leq - 1.96)$。
利用正态分布的对称性求解概率：
正态分布$N(0,1)$的概率密度函数图像关于$y$轴对称，即$P(Z\leq - z)=1 - P(Z\leq z)$，这里$z = 1.96$，所以$P(Z\leq - 1.96)=1 - P(Z\leq1.96)$。
将$P(Z\leq1.96)=0.975$代入上式，可得$P(Z\leq - 1.96)=1 - 0.975 = 0.025$。