题目

设X11,X 2,.,X5是取自正态分布N(0,σ²)的一个简单随机样本,若X11,X 2,.,X5服从t分布,求a和t分布的自由度.

设 $X_1,X_2,\cdots,X_5$ 是取自正态分布N(0,σ²)的一个简单随机样本,若 $\frac{a(X_1+X_2)}{ \sqrt {X_3^2+X_4^2+X_5^2} }$ 服从t分布,求a和t分布的自由度.

题目解答

答案

已知 $X_1,X_2,\cdots,X_5$ 是取自正态分布N(0,σ²)的简单随机样本，则 $X_1 + X_2\sim N(0,2\sigma^2)$

标准化可得 $\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}\sigma}\sim N(0,1)$

由正态分布的性质可知， $\frac{X_i}{\sigma}\sim N(0,1)$ ，i = 3,4,5

那么 $\frac{X_3^2}{\sigma^2},\frac{X_4^2}{\sigma^2},\frac{X_5^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为1的 $\chi^2$ 分布

根据 $\chi^2$ 分布的可加性， $\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为3的 $\chi^2$ 分布

因为 $\frac{a(X_1 + X_2)}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}}$ 服从t分布，且 $\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}\sigma}\sim N(0,1)，\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(3)$

所以 $a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ，t分布的自由度为3