题目

7.设随机向量(X,Y)服从二维正态分布mathcal(N)((}00))，记U=}1&Xgeqslant0-1&X<0求U和V的相关系数Cov(U,V).

7.设随机向量(X,Y)服从二维正态分布$\mathcal{N}\left(\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1&\rho\\1&1\end{matrix}\right)\right)$，记 $U=\begin{cases}1&X\geqslant0\\-1&X<0\end{cases}，V=\begin{cases}1&Y\geqslant0\\-1&Y<0\end{cases}$ 求U和V的相关系数$Cov(U,V)$.

题目解答

答案

设随机向量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $\mathcal{N}\left(\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}1 & \rho \\ \rho & 1\end{matrix}\right)\right)$，定义 \[ U = \begin{cases} 1, & X \geq 0 \\ -1, & X < 0 \end{cases}, \quad V = \begin{cases} 1, & Y \geq 0 \\ -1, & Y < 0 \end{cases}. \] 由于 $X$ 和 $Y$ 均服从标准正态分布， \[ \text{E}[U] = \text{E}[V] = 0. \] 计算 $\text{E}[UV]$： \[ \text{E}[UV] = P(X \geq 0, Y \geq 0) - P(X \geq 0, Y < 0) - P(X < 0, Y \geq 0) + P(X < 0, Y < 0). \] 利用对称性， \[ \text{E}[UV] = 4P(X \geq 0, Y \geq 0) - \frac{1}{2}. \] 由二维正态分布性质， \[ P(X \geq 0, Y \geq 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \arcsin(\rho). \] 代入得 \[ \text{E}[UV] = \frac{2}{\pi} \arcsin(\rho). \] 因此，相关系数 \[ \boxed{\frac{2}{\pi} \arcsin(\rho)}. \]

解析

考查要点：本题主要考查二维正态分布的性质及其应用，涉及随机变量的协方差计算、对称性分析以及概率积分技巧。

解题核心思路：

  1. 利用对称性简化计算：由于$X$和$Y$均服从标准正态分布，且对称性使得$U$和$V$的期望均为$0$，因此协方差$\text{Cov}(U,V) = \text{E}[UV]$。
  2. 分解联合概率：将$\text{E}[UV]$转化为四个象限区域的概率组合，再通过二维正态分布的对称性进一步简化。
  3. 应用二维正态分布性质：利用二维正态分布下$P(X \geq 0, Y \geq 0)$的表达式，结合反正弦函数的积分结果，最终得到协方差。

破题关键点：

  • 对称性分析：通过变量的对称性减少计算量。
  • 概率积分公式：掌握二维正态分布下联合概率的计算公式。

步骤1：计算期望$\text{E}[U]$和$\text{E}[V]$

由于$X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$，且对称性可知：
$\text{E}[U] = 1 \cdot P(X \geq 0) + (-1) \cdot P(X < 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 0.$
同理，$\text{E}[V] = 0$。

步骤2：展开$\text{E}[UV]$

根据定义：
$\text{E}[UV] = \text{E}[UV] = \text{E}[ (2I_{\{X \geq 0\}} - 1)(2I_{\{Y \geq 0\}} - 1) ],$
展开后可得：
$\text{E}[UV] = 4P(X \geq 0, Y \geq 0) - 2P(X \geq 0) - 2P(Y \geq 0) + 1.$
由于$P(X \geq 0) = P(Y \geq 0) = \frac{1}{2}$，代入得：
$\text{E}[UV] = 4P(X \geq 0, Y \geq 0) - 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 4P(X \geq 0, Y \geq 0) - 1.$

步骤3：利用二维正态分布性质计算概率

对于二维正态分布$(X,Y)$，有：
$P(X \geq 0, Y \geq 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \arcsin(\rho).$
代入$\text{E}[UV]$的表达式：
$\text{E}[UV] = 4 \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \arcsin(\rho) \right) - 1 = \frac{2}{\pi} \arcsin(\rho).$

步骤4：计算协方差

由于$\text{Cov}(U,V) = \text{E}[UV] - \text{E}[U]\text{E}[V] = \text{E}[UV]$，最终得：
$\text{Cov}(U,V) = \frac{2}{\pi} \arcsin(\rho).$