题目
设随机 变量 X 与 Y 相互独立，若 D ( X ) = 5 , D ( Y ) = 15， 则 D ( X + Y ) = ___________，D ( X - Y ) =_______
设随机 变量 X 与 Y 相互独立，若 D ( X ) = 5 , D ( Y ) = 15， 则 D ( X + Y ) = ___________，D ( X - Y ) =_______
题目解答
答案
解：
∵随机 变量 X 与 Y 相互独立，若 D ( X ) = 5 , D ( Y ) = 15
∴Cov(X,Y)=0
∴D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=20
故答案为：20,；20
解析
步骤 1：理解随机变量的独立性
随机变量 X 与 Y 相互独立，意味着它们的协方差 Cov(X,Y) = 0。这是由于独立随机变量的定义，即一个变量的取值不会影响另一个变量的取值。
步骤 2：应用方差的性质
对于两个随机变量 X 和 Y，它们的和或差的方差可以表示为：
D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)
D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)
由于 X 和 Y 相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此上述公式简化为：
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
D(X - Y) = D(X) + D(Y)
步骤 3：代入已知的方差值
已知 D(X) = 5 和 D(Y) = 15，代入上述简化公式中，得到：
D(X + Y) = 5 + 15 = 20
D(X - Y) = 5 + 15 = 20
随机变量 X 与 Y 相互独立，意味着它们的协方差 Cov(X,Y) = 0。这是由于独立随机变量的定义，即一个变量的取值不会影响另一个变量的取值。
步骤 2：应用方差的性质
对于两个随机变量 X 和 Y，它们的和或差的方差可以表示为：
D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)
D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)
由于 X 和 Y 相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此上述公式简化为：
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
D(X - Y) = D(X) + D(Y)
步骤 3：代入已知的方差值
已知 D(X) = 5 和 D(Y) = 15，代入上述简化公式中，得到：
D(X + Y) = 5 + 15 = 20
D(X - Y) = 5 + 15 = 20