题目
某车间生产的螺钉，其直径X sim N(mu, sigma^2),由过去的经验知道sigma^2 = 0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下:14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求mu的置信概率为0.95的置信区间。A. (13.754,17.146)B. (14.754,15.146)C. (12.12,15.23)D. (11.353,13.123)
某车间生产的螺钉，其直径$X \sim N(\mu, \sigma^2)$,由过去的经验知道$\sigma^2 = 0.06$,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下:14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求$\mu$的置信概率为0.95的置信区间。
A. (13.754,17.146)
B. (14.754,15.146)
C. (12.12,15.23)
D. (11.353,13.123)
题目解答
答案
B. (14.754,15.146)
解析
步骤 1：计算样本均值
根据给定的样本数据，计算样本均值 $\bar{x}$。
\[ \bar{x} = \frac{14.7 + 15.0 + 14.8 + 14.9 + 15.1 + 15.2}{6} = 14.95 \]
步骤 2：确定临界值
由于置信水平为 0.95，查标准正态分布表得到临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算标准误
根据已知的总体方差 $\sigma^2 = 0.06$ 和样本量 $n = 6$，计算标准误。
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} \approx 0.1 \]
步骤 4：计算置信区间
根据样本均值、临界值和标准误，计算置信区间。
\[ \left( 14.95 - 1.96 \times 0.1, 14.95 + 1.96 \times 0.1 \right) = (14.754, 15.146) \]
根据给定的样本数据，计算样本均值 $\bar{x}$。
\[ \bar{x} = \frac{14.7 + 15.0 + 14.8 + 14.9 + 15.1 + 15.2}{6} = 14.95 \]
步骤 2：确定临界值
由于置信水平为 0.95，查标准正态分布表得到临界值 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤 3：计算标准误
根据已知的总体方差 $\sigma^2 = 0.06$ 和样本量 $n = 6$，计算标准误。
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} \approx 0.1 \]
步骤 4：计算置信区间
根据样本均值、临界值和标准误，计算置信区间。
\[ \left( 14.95 - 1.96 \times 0.1, 14.95 + 1.96 \times 0.1 \right) = (14.754, 15.146) \]