设 X_1, X_2, X_3 是来自于总体 X 的简单随机样本，且 E(X) = mu，则未知参数 mu 的下列无偏估计中最有效的是A. (1)/(4)(X_1 + 2X_2 + X_3)B. (1)/(5)(X_1 + 2X_2 + 2X_3)C. (1)/(6)(X_1 + 2X_2 + 3X_3)D. (1)/(3)(X_1 + X_2 + X_3)

本题考查无偏估计和估计有效性的知识。解题思路是先根据无偏估计的定义判断每个选项是否为未知参数 $\mu$ 的无偏估计，再根据估计有效性的定义，比较各无偏估计的方差，方差最小的即为最有效的估计。

步骤一：判断各选项是否为无偏估计

若 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计，则 $E(\hat{\theta}) = \theta$。

• 选项A：
  已知 $E(X) = \mu$，对于 $\hat{\mu}_A=\frac{1}{4}(X_1 + 2X_2 + X_3)$，根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_A)&=E\left[\frac{1}{4}(X_1 + 2X_2 + X_3)\right]\\&=\frac{1}{4}[E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)]\\&=\frac{1}{4}(\mu + 2\mu + \mu)\\&=\frac{1}{4}\times4\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_A$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
• 选项B：
  对于 $\hat{\mu}_B=\frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 2X_3)$，同理可得：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_B)&=E\left[\frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 2X_3)\right]\\&=\frac{1}{5}[E(X_1) + 2E(X_2) + 2E(X_3)]\\&=\frac{1}{5}(\mu + 2\mu + 2\mu)\\&=\frac{1}{5}\times5\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_B$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
• 选项C：
  对于 $\hat{\mu}_C=\frac{1}{6}(X_1 + 2X_2 + 3X_3)$，同理可得：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_C)&=E\left[\frac{1}{6}(X_1 + 2X_2 + 3X_3)\right]\\&=\frac{1}{6}[E(X_1) + 2E(X_2) + 3E(X_3)]\\&=\frac{1}{6}(\mu + 2\mu + 3\mu)\\&=\frac{1}{6}\times6\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_C$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
• 选项D：
  对于 $\hat{\mu}_D=\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)$，同理可得：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_D)&=E\left[\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)\right]\\&=\frac{1}{3}[E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)]\\&=\frac{1}{3}(\mu + \mu + \mu)\\&=\frac{1}{3}\times3\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_D$ 是 $\mu$ 的无偏估计。

步骤二：计算各无偏估计的方差

因为 $X_1, X_2, X_3$ 是简单随机样本，所以它们相互独立，且 $D(X_1)=D(X_2)=D(X_3)=D(X)$，设 $D(X)=\sigma^2$。根据方差的性质 $D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（$X$，$Y$ 相互独立），可得：

• 选项A：
  $\begin{align*}D(\hat{\mu}_A)&=D\left[\frac{1}{4}(X_1 + 2X_2 + X_3)\right]\\&=\frac{1}{16}[D(X_1) + 4D(X_2) + D(X_3)]\\&=\frac{1}{16}(\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2)\\&=\frac{1}{16}\times6\sigma^2\\&=\frac{3}{8}\sigma^2\end{align*}$
• 选项B：
  $\begin{align*}D(\hat{\mu}_B)&=D\left[\frac{1}{5}(X_1 + 2X_2 + 2X_3)\right]\\&=\frac{1}{25}[D(X_1) + 4D(X_2) + 4D(X_3)]\\&=\frac{1}{25}(\sigma^2 + 4\sigma^2 + 4\sigma^2)\\&=\frac{1}{25}\times9\sigma^2\\&=\frac{9}{25}\sigma^2\end{align*}$
• 选项C：
  $\begin{align*}D(\hat{\mu}_C)&=D\left[\frac{1}{6}(X_1 + 2X_2 + 3X_3)\right]\\&=\frac{1}{36}[D(X_1) + 4D(X_2) + 9D(X_3)]\\&=\frac{1}{36}(\sigma^2 + 4\sigma^2 + 9\sigma^2)\\&=\frac{1}{36}\times14\sigma^2\\&=\frac{7}{18}\sigma^2\end{align*}$
• 选项D：
  $\begin{align*}D(\hat{\mu}_D)&=D\left[\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)\right]\\&=\frac{1}{9}[D(X_1) + D(X_2) + D(X_3)]\\&=\frac{1}{9}(\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2)\\&=\frac{1}{9}\times3\sigma^2\\&=\frac{1}{3}\sigma^2\end{align*}$

步骤三：比较各无偏估计的方差大小

为了比较 $\frac{3}{8}\sigma^2$，$\frac{9}{25}\sigma^2$，$\frac{7}{18}\sigma^2$，$\frac{1}{3}\sigma^2$ 的大小，先通分：

• $\frac{3}{8}\sigma^2=\frac{3\times225}{8\times225}\sigma^2=\frac{675}{1800}\sigma^2$
• $\frac{9}{25}\sigma^2=\frac{9\times72}{25\times72}\sigma^2=\frac{648}{1800}\sigma^2$
• $\frac{7}{18}\sigma^2=\frac{7\times100}{18\times100}\sigma^2=\frac{700}{1800}\sigma^2$
• $\frac{1}{3}\sigma^2=\frac{1\times600}{3\times600}\sigma^2=\frac{600}{1800}\sigma^2$

因为 $\frac{600}{1800}\sigma^2\lt\frac{648}{1800}\sigma^2\lt\frac{675}{1800}\sigma^2\lt\frac{700}{1800}\sigma^2$，即 $D(\hat{\mu}_D)\lt D(\hat{\mu}_B)\lt D(\hat{\mu}_A)\lt D(\hat{\mu}_C)$。

所以 $\hat{\mu}_D=\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)$ 的方差最小，是最有效的估计。