5.设向量alpha_(1)=(1,a,a^2),alpha_(2)=(1,b,b^2),alpha_(3)=(1,c,c^2),则向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关的充分必要条件是（A. a,b,c全不为0B. a,b,c不全为0C. a,b,c不全相等D. a,b,c互不相等

考查要点：本题主要考查向量组线性无关的判定条件，涉及行列式的计算，特别是范德蒙德行列式的应用。

解题核心思路：
向量组线性无关的充要条件是它们构成的矩阵行列式非零。将三个向量排列成矩阵后，发现其结构为范德蒙德矩阵，直接利用范德蒙德行列式的公式即可得出结论。

破题关键点：

1. 构造矩阵：将向量作为列向量排列成矩阵。
2. 识别范德蒙德矩阵：矩阵形式符合范德蒙德矩阵的特征。
3. 行列式公式：范德蒙德行列式为各变量两两之差的乘积，非零的条件是所有变量互不相等。

将向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 作为列向量构成矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\a & b & c \\a^2 & b^2 & c^2\end{pmatrix}$

步骤1：计算行列式
矩阵 $A$ 是范德蒙德矩阵，其行列式公式为：
$\det(A) = (b - a)(c - a)(c - b)$

步骤2：分析行列式非零条件
行列式 $\det(A) \neq 0$ 的充要条件是 所有因子均不为零，即：
$b - a \neq 0, \quad c - a \neq 0, \quad c - b \neq 0$
等价于 $a, b, c$ 互不相等。

选项分析：

• 选项D（互不相等）满足行列式非零的条件。
• 其他选项（如“不全相等”）可能存在两两相等的情况，导致行列式为零。