7.（单选题，1.0分）设随机变量X~B(n,p),则D(X)等于A. npB. np(1-p)C. p(1-p)D. n(1-p)

本题考查二项分布的方差公式。解题思路是根据二项分布的定义和方差的性质来推导随机变量 $X\sim B(n,p)$ 的方差 $D(X)$。

步骤一：明确二项分布的定义

若随机变量 $X\sim B(n,p)$，表示 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，即 $X$ 是 $n$ 重伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $q = 1 - p$。

步骤二：将 $X$ 表示为独立随机变量之和

设 $X_i$ 为第 $i$ 次伯努利试验的结果，$X_i$ 服从两点分布，即 $P(X_i = 1)=p$，$P(X_i = 0)=1 - p$，$i = 1,2,\cdots,n$，且 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立。则 $X=\sum_{i = 1}^{n}X_i$。

步骤三：计算 $X_i$ 的方差

对于两点分布的随机变量 $X_i$，根据方差公式 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。

• 计算 $E(X_i)$：
  $E(X_i)=1\times p + 0\times(1 - p)=p$
• 计算 $E(X_i^2)$：
  因为 $X_i^2 = X_i$（$X_i$ 取值为 $0$ 或 $1$），所以 $E(X_i^2)=E(X_i)=p$。
• 计算 $D(X_i)$：
  $D(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i)]^2=p - p^2=p(1 - p)$

步骤四：计算 $X$ 的方差

由于 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，根据方差的性质：若 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，则 $D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$。
所以 $D(X)=D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$，又因为 $D(X_i)=p(1 - p)$ 对 $i = 1,2,\cdots,n$ 都成立，所以 $D(X)=n\times p(1 - p)=np(1 - p)$。