3.(7.0分)对于随机变量X与Y，若E(XY)=E(X)E(Y)则有A. D(X+Y)=D(X)+D(Y)B. D(XY)=D(X)D(Y)C. X与Y必然相互独立D. X与Y必不相互独立

本题考查随机变量的期望、方差性质以及随机变量独立性的相关知识。解题的关键在于利用方差的计算公式以及已知条件$E(XY)=E(X)E(Y)$来推导$D(X + Y)$的表达式，同时分析其他选项与已知条件之间的关系。

选项A的分析

根据方差的定义和性质，对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有$D(X + Y)=E[(X + Y)^2]-[E(X + Y)]^2$。

• 首先展开$E[(X + Y)^2]$：
  根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$E[(X + Y)^2]=E(X^2 + 2XY + Y^2)$。
  再根据期望的线性性质$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$为常数），则$E(X^2 + 2XY + Y^2)=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)$。
• 然后计算$[E(X + Y)]^2$：
  同样根据期望的线性性质，$E(X + Y)=E(X)+E(Y)$，所以$[E(X + Y)]^2=[E(X)+E(Y)]^2$。
  根据完全平方公式展开可得$[E(X)+E(Y)]^2=[E(X)]^2 + 2E(X)E(Y)+[E(Y)]^2$。
• 最后计算$D(X + Y)$：
  将上述结果代入$D(X + Y)=E[(X + Y)^2]-[E(X + Y)]^2$中，可得：
  $D(X + Y)=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-([E(X)]^2 + 2E(X)E(Y)+[E(Y)]^2)$
  已知$E(XY)=E(X)E(Y)$，将其代入上式可得：
  $D(X + Y)=E(X^2)-[E(X)]^2+E(Y^2)-[E(Y)]^2$
  又因为$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，所以$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，故选项A正确。

选项B的分析

一般情况下，仅由$E(XY)=E(X)E(Y)$不能推出$D(XY)=D(X)D(Y)$。
$D(XY)=E[(XY)^2]-[E(XY)]^2=E(X^2Y^2)-[E(X)E(Y)]^2$，而$D(X)D(Y)=(E(X^2)-[E(X)]^2)(E(Y^2)-[E(Y)]^2)$，两者之间并没有必然的相等关系，所以选项B错误。

选项C的分析

$E(XY)=E(X)E(Y)$只能说明$X$和$Y$不相关，但不相关并不一定意味着$X$和$Y$必然相互独立。
相互独立是指对于任意的$x,y$，都有$P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$，而不相关只是说$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，所以选项C错误。

选项D的分析

由前面分析可知$E(XY)=E(X)E(Y)$不能得出$X$和$Y$必不相互独立，实际上存在$X$和$Y$既满足$E(XY)=E(X)E(Y)$又相互独立的情况，所以选项D错误。