7.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= ^3)(e)^-dfrac (theta {x)},xgt 0, 0, . ,-|||-其中θ为未知参数且大于零,(X1,X 2,···,Xn)-|||-为来自该总体的简单随机样本.(1)求θ的矩-|||-估计量;(2)求θ的极大似然估计量.

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和极大似然估计法的应用。

解题思路：

1. 矩估计法：通过计算总体的一阶原点矩（即期望），令其等于样本的一阶原点矩（样本均值），解方程得到θ的估计量。
2. 极大似然估计法：构造似然函数，取对数后对θ求导，令导数为零，解方程得到θ的估计量。

关键点：

• 矩估计的核心是建立总体矩与样本矩的等式。
• 极大似然估计的关键是正确构造似然函数并求导，注意积分和求导过程中的变量替换。

第（1）题：矩估计量

计算总体期望

总体X的概率密度为：
$f(x;\theta) = \begin{cases} \dfrac{\theta^2}{x^3} e^{-\theta/x}, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
计算总体期望：
$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \dfrac{\theta^2}{x^3} e^{-\theta/x} \, dx = \theta.$

建立矩估计方程

令样本均值 $\overline{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 等于总体均值 $E(X)$，即：
$\overline{X} = \theta.$

矩估计量

解得θ的矩估计量为：
$\hat{\theta}_1 = \overline{X}.$

第（2）题：极大似然估计量

构造似然函数

似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \dfrac{\theta^2}{X_i^3} e^{-\theta/X_i} = \dfrac{\theta^{2n}}{\left( \prod_{i=1}^{n} X_i^3 \right)} e^{-\theta \sum_{i=1}^{n} 1/X_i}.$

取对数并对θ求导

对数似然函数：
$\ln L(\theta) = 2n \ln \theta - 3 \sum_{i=1}^{n} \ln X_i - \theta \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{X_i}.$
对θ求导并令导数为零：
$\dfrac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \dfrac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{X_i} = 0.$

解方程得极大似然估计量

解得：
$\hat{\theta}_2 = \dfrac{2n}{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{X_i}}.$