【单选题】设A为 矩阵,秩R(A)=rA. A中r阶子式不全为零B. A中阶数小于r的子式全为零C. A经过行初等变换可化为D. A为满秩矩阵

考查要点：本题主要考查矩阵秩的基本概念及其性质，重点理解矩阵秩的定义及子式的相关性质。

解题核心思路：
矩阵的秩是矩阵中最高阶非零子式的阶数。若矩阵$A$的秩为$r$，则：

1. 所有$r$阶子式不全为零（至少存在一个$r$阶子式非零）；
2. 所有高于$r$阶的子式均为零；
3. 低于$r$阶的子式可能为零也可能非零。

破题关键点：

• 明确矩阵秩的定义，直接对应选项A的正确性；
• 排除其他选项时需注意子式的阶数与秩的关系，以及矩阵是否满秩的条件。

选项分析：

A. A中r阶子式不全为零

正确。根据秩的定义，若$R(A)=r$，则$A$中至少存在一个$r$阶子式非零，因此$r$阶子式不可能全部为零。

B. A中阶数小于r的子式全为零

错误。秩$r$仅说明高于$r$阶的子式全为零，但低于$r$阶的子式可能有非零的情况。例如，若矩阵$A$中存在非零元素，则其一阶子式（元素本身）必然非零，而一阶可能小于$r$。

C. A经过行初等变换可化为

题目不完整。若选项描述为化为行阶梯形矩阵，则正确；但若要求化为特定形式（如单位矩阵），则不一定成立（因$r < m,n$）。需根据完整题意判断，此处无法确定。

D. A为满秩矩阵

错误。满秩矩阵要求秩等于矩阵的较小维度（即$R(A)=\min\{m,n\}$），但题目中$r < m$且$r < n$，故$A$不是满秩矩阵。