正态分布 X sim N(1,4) 的图像在 X=1 处取得最大值 (1)/(2sqrt(2pi)) ( )A. 对B. 错

本题考查正态分布的概率密度函数的性质。解题思路是先明确正态分布概率密度函数的表达式，再根据给定的正态分布确定其参数，最后将参数代入表达式求出在均值处的函数值，与题目所给最大值进行比较。

步骤一：明确正态分布概率密度函数的表达式

若随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差。

步骤二：确定给定正态分布的参数

已知正态分布$X\sim N(1,4)$，根据正态分布的表示方法可知，均值$\mu = 1$，方差$\sigma^{2}=4$，则标准差$\sigma=\sqrt{4} = 2$。

步骤三：将参数代入概率密度函数表达式

把$\mu = 1$，$\sigma = 2$代入$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，可得$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times2}e^{-\frac{(x - 1)^{2}}{2\times2^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1)^{2}}{8}}$。

步骤四：求函数在$x = 1$处的值

将$x = 1$代入$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1)^{2}}{8}}$，可得$f(1)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(1 - 1)^{2}}{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{0}$。
因为$e^{0}=1$，所以$f(1)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$。
又因为正态分布的概率密度函数图像关于$x = \mu$对称，且在$x = \mu$处取得最大值，所以正态分布$X\sim N(1,4)$的图像在$x = 1$处取得最大值$\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$。