题目

53. 填空题多元线性回归模型[1]中，多重可决系数 R^2 随着解释变量[2]数目的增加而（）

53. 填空题

多元线性回归模型[1]中，多重可决系数 $R^2$ 随着解释变量[2]数目的增加而（）

题目解答

答案

在多元线性回归模型中，多重可决系数 $ R^2 $ 定义为回归平方和（ESS）与总离差平方和（TSS）的比值，即：

$R^2 = \frac{ESS}{TSS}$

其中，ESS 是由模型中所有解释变量共同解释的被解释变量变差部分，TSS 是被解释变量的总变差。当增加解释变量时，模型的拟合能力通常不会下降，因为新增变量至少可以“不贡献”（即其系数为0），从而不会减少ESS；在大多数实际情况下，新增变量会带来额外的解释力，使ESS增大，从而 $ R^2 $ 增大或至少保持不变。

因此，多重可决系数 $ R^2 $ 是解释变量个数的非减函数，即随着解释变量数目的增加，$ R^2 $ 不会减少。

关键点总结：

  • $ R^2 $ 衡量模型对数据的拟合优度[3]；

  • 增加解释变量不会使 $ R^2 $ 减小；

  • 严格来说，$ R^2 $ 是“不减函数”，即“非递减”。

答案：

不减 或 非减

解析

本题考查多元线性回归模型中多重可决系数 $R^2$ 与解释变量数目的关系。解题思路是先明确多重可决系数 $R^2$ 的定义，再分析增加解释变量时对其分子回归平方和（ESS）的影响，进而得出 $R^2$ 的变化情况。

  1. 首先明确多重可决系数 $R^2$ 的定义：
    • 多重可决系数 $R^2$ 定义为回归平方和（ESS）与总离差平方和（TSS）的比值，公式为 $R^2=\frac{ESS}{TSS}$。其中，ESS 是由模型中所有解释变量共同解释的被解释变量变差部分，TSS 是被解释变量的总变差。
  2. 然后分析增加解释变量时 ESS 的变化：
    • 当增加解释变量时，模型的拟合能力通常不会下降。因为新增变量至少可以“不贡献”，也就是其系数为 0，在这种情况下，ESS 不会减少。
    • 在大多数实际情况下，新增变量会带来额外的解释力，使得 ESS 增大。
  3. 最后根据 ESS 的变化得出 $R^2$ 的变化：
    • 由于 TSS 是固定的，当 ESS 增大或至少保持不变时，根据 $R^2=\frac{ESS}{TSS}$，$R^2$ 会增大或至少保持不变。所以，多重可决系数 $R^2$ 是解释变量个数的非减函数，即随着解释变量数目的增加，$R^2$ 不会减少。