求下列函数的导数：(1)y=arcsin(1-2x);(3)y=e^-(x)/(2)cos3x;(5)y=(1-ln x)/(1+ln x);(7)y=arcsinsqrt(x);(9)y=ln(sec x+tan x);

本题主要考查复合函数求导法则、乘积求导法则以及除法求导法则的应用。解题的关键在于正确识别函数的复合结构，并根据相应的求导法则逐步进行求导。

(1) 求$y = \arcsin(1 - 2x)$的导数

本题考查复合函数求导，可令$u = 1 - 2x$，则$y = \arcsin u$，根据复合函数求导法则$y^\prime_x = y^\prime_u \cdot u^\prime_x$进行求导。

• 先对$y = \arcsin u$关于$u$求导，根据求导公式$(\arcsin x)^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$可得：$y^\prime_u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$。
• 再对$u = 1 - 2x$关于$x$求导，可得：$u^\prime_x = -2$。
• 最后根据复合函数求导法则可得：
  $y^\prime = y^\prime_u \cdot u^\prime_x = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot (-2)$
  将$u = 1 - 2x$代回上式得：
  $y^\prime = \frac{-2}{\sqrt{1 - (1 - 2x)^2}} = \frac{-2}{\sqrt{1 - (1 - 4x + 4x^2)}} = \frac{-2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{-2}{2\sqrt{x(1 - x)}} = -\frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}}$

(3) 求$y = e^{-\frac{x}{2}} \cos 3x$的导数

本题考查乘积求导法则，根据$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，令$u = e^{-\frac{x}{2}}$，$v = \cos 3x$，分别求出$u^\prime$和$v^\prime$，再代入公式计算。

• 对$u = e^{-\frac{x}{2}}$关于$x$求导，根据复合函数求导法则，令$t = -\frac{x}{2}$，则$u = e^t$，$u^\prime_x = u^\prime_t \cdot t^\prime_x$。
  • 对$u = e^t$关于$t$求导，可得$u^\prime_t = e^t$。
  • 对$t = -\frac{x}{2}$关于$x$求导，可得$t^\prime_x = -\frac{1}{2}$。
  • 所以$u^\prime = u^\prime_t \cdot t^\prime_x = e^t \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$。
• 对$v = \cos 3x$关于$x$求导，根据复合函数求导法则，令$s = 3x$，则$v = \cos s$，$v^\prime_x = v^\prime_s \cdot s^\prime_x$。
  • 对$v = \cos s$关于$s$求导，可得$v^\prime_s = -\sin s$。
  • 对$s = 3x$关于$x$求导，可得$s^\prime_x = 3$。
  • 所以$v^\prime = v^\prime_s \cdot s^\prime_x = -\sin s \cdot 3 = -3\sin 3x$。
• 根据乘积求导法则可得：
  $y^\prime = u^\prime v + uv^\prime = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \cos 3x + e^{-\frac{x}{2}} \cdot (-3\sin 3x) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} (\cos 3x + 6\sin 3x)$

(5) 求$y = \frac{1 - \ln x}{1 + \ln x}$的导数

本题考查除法求导法则，根据$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，令$u = 1 - \ln x$，$v = 1 + \ln x$，分别求出$u^\prime$和$v^\prime$，再代入公式计算。

• 对$u = 1 - \ln x$关于$x$求导，可得$u^\prime = -\frac{1}{x}$。
• 对$v = 1 + \ln x$关于$x$求导，可得$v^\prime = \frac{1}{x}$。
• 根据除法求导法则可得：
  $y^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2} = \frac{-\frac{1}{x}(1 + \ln x) - (1 - \ln x)\frac{1}{x}}{(1 + \ln x)^2} = \frac{-\frac{1}{x} - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + \frac{\ln x}{x}}{(1 + \ln x)^2} = \frac{-\frac{2}{x}}{(1 + \ln x)^2} = -\frac{2}{x(1 + \ln x)^2}$

(7) 求$y = \arcsin \sqrt{x}$的导数

本题考查复合函数求导，可令$u = \sqrt{x}$，则$y = \arcsin u$，根据复合函数求导法则$y^\prime_x = y^\prime_u \cdot u^\prime_x$进行求导。

• 先对$y = \arcsin u$关于$u$求导，根据求导公式$(\arcsin x)^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$可得：$y^\prime_u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$。
• 再对$u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$可得：$u^\prime_x = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
• 最后根据复合函数求导法则可得：
  $y^\prime = y^\prime_u \cdot u^\prime_x = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
  将$u = \sqrt{x}$代回上式得：
  $y^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}$

(9) 求$y = \ln(\sec x + \tan x)$的导数

本题考查复合函数求导，可令$u = \sec x + \tan x$，则$y = \ln u$，根据复合函数求导法则$y^\prime_x = y^\prime_u \cdot u^\prime_x$进行求导。

• 先对$y = \ln u$关于$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$可得：$y^\prime_u = \frac{1}{u}$。
• 再对$u = \sec x + \tan x$关于$x$求导，根据求导公式$(\sec x)^\prime = \sec x \tan x$，$(\tan x)^\prime = \sec^2 x$可得：$u^\prime_x = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$。
• 最后根据复合函数求导法则可得：
  $y^\prime = y^\prime_u \cdot u^\prime_x = \frac{1}{u} \cdot \sec x(\tan x + \sec x)$
  将$u = \sec x + \tan x$代回上式得：
  $y^\prime = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot \sec x(\tan x + \sec x) = \sec x$