设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ) 3x,0lt xlt 1,0lt ylt x 0 . 求-|||-(1)(X,Y)的边缘概率密度;-|||-(2)fr1x(y|x);-|||-(3)讨论X与Y的独立性.

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度、条件概率密度的求解，以及随机变量独立性的判断。

解题思路：

1. 边缘概率密度：通过积分联合概率密度函数得到。对$f(x,y)$求$X$的边缘密度$f_X(x)$时，需对$y$在$0$到$x$积分；求$Y$的边缘密度$f_Y(y)$时，需对$x$在$y$到$1$积分。
2. 条件概率密度：利用公式$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$，注意条件密度的定义域为$0 < y < x$。
3. 独立性判断：若$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$，则$X$与$Y$独立，否则不独立。

关键点：

• 积分限的确定：根据联合密度的定义域$0 < y < x < 1$，确定积分上下限。
• 条件密度的归一化：验证条件密度在定义域内积分是否为1。

第（1）题：求边缘概率密度

$X$的边缘概率密度$f_X(x)$

对$y$积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{x} 3x \, dy = 3x \cdot x = 3x^2, \quad 0 < x < 1.$

$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)$

对$x$积分：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{y}^{1} 3x \, dx = \frac{3}{2} \left(1^2 - y^2\right) = \frac{3}{2}(1 - y^2), \quad 0 < y < 1.$

第（2）题：求条件概率密度$f_{Y|X}(y|x)$

根据公式：
$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x}, \quad 0 < y < x.$

第（3）题：讨论独立性

若$X$与$Y$独立，则$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。计算：
$f_X(x) \cdot f_Y(y) = 3x^2 \cdot \frac{3}{2}(1 - y^2) = \frac{9}{2}x^2(1 - y^2) \neq 3x = f(x,y).$
因此，$X$与$Y$不独立。