设总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其中θin(0,+infty)为未知参数，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的简单随机样本，记X_((n))=maxX_{1),X_(2),...,X_(n)}，T_(c)=cX_((n)).(1)求c，使得E(T_(c))=theta；(2)记h(c)=E(T_(c)-theta)^2，求c使得h(c)最小.
题目解答
答案
(1) 由 $X_{(n)} = \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，其期望为 $E(X_{(n)}) = \frac{n}{n+1}\theta$。
令 $E(T_c) = E(cX_{(n)}) = cE(X_{(n)}) = \theta$，解得 $c = \frac{n+1}{n}$。
答案： $c = \frac{n+1}{n}$
(2) 令 $h(c) = E(T_c - \theta)^2$，则
$h(c) = E(c^2X_{(n)}^2 - 2c\theta X_{(n)} + \theta^2) = c^2E(X_{(n)}^2) - 2c\theta E(X_{(n)}) + \theta^2$
由 $E(X_{(n)}^2) = \frac{n}{n+2}\theta^2$，代入得
$h(c) = \theta^2\left(\frac{n}{n+2}c^2 - \frac{2n}{n+1}c + 1\right)$
最小化二次函数，得 $c = \frac{n+2}{n+1}$。
答案： $c = \frac{n+2}{n+1}$
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } c = \frac{n+1}{n} \\\text{(2) } c = \frac{n+2}{n+1}\end{array}}$
解析
本题主要考查均匀分布的性质、顺序统计量的期望与方差计算以及期望和方差的性质，解题的关键在于先求出$X_{(n)}=\max\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\}$的期望和二阶原点矩，再根据题目要求进行计算。
（1）求$c$使得$E(T_{c})=\theta$
- 步骤一：求$X_{(n)}$的概率密度函数
已知总体$X$服从$[0,\theta]$上的均匀分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\leq x\leq\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$，分布函数为$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\\frac{x}{\theta},&0\leq x\leq\theta\\1,&x\gt\theta\end{cases}$。
$X_{(n)}=\max\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\}$的分布函数为$F_{X_{(n)}}(x)=[F(x)]^n=\begin{cases}0,&x\lt0\\(\frac{x}{\theta})^n,&0\leq x\leq\theta\\1,&x\gt\theta\end{cases}$。
对$F_{X_{(n)}}(x)$求导，可得$X_{(n)}$的概率密度函数为$f_{X_{(n)}}(x)=\begin{cases}\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n},&0\leq x\leq\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$。 - 步骤二：计算$E(X_{(n)})$
根据期望的定义$E(X_{(n)})=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X_{(n)}}(x)dx$，可得：
$\begin{align*}E(X_{(n)})&=\int_{0}^{\theta}x\cdot\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n}dx\\&=\frac{n}{\theta^n}\int_{0}^{\theta}x^n dx\\&=\frac{n}{\theta^n}\cdot\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}\big|_{0}^{\theta}\\&=\frac{n}{n + 1}\theta\end{align*}$ - 步骤三：计算$c$
已知$T_{c}=cX_{(n)}$，根据期望的性质$E(T_{c}) = E(cX_{(n)}) = cE(X_{(n)})$，令$E(T_{c})=\theta$，即$c\cdot\frac{n}{n + 1}\theta=\theta$，解得$c = \frac{n + 1}{n}$。
（2）求$c$使得$h(c)=E(T_{c}-\theta)^{2}$最小
- 步骤一：将$h(c)$展开
已知$h(c)=E(T_{c}-\theta)^{2}$，$T_{c}=cX_{(n)}$，则$h(c)=E((cX_{(n)}-\theta)^{2})=E(c^2X_{(n)}^2 - 2c\theta X_{(n)} + \theta^2)$。
根据期望的性质$E(aY + bZ + d)=aE(Y) + bE(Z) + d$（$a,b,d$为常数，$Y,Z$为随机变量），可得$h(c)=c^2E(X_{(n)}^2) - 2c\theta E(X_{(n)}) + \theta^2$。 - 步骤二：计算$E(X_{(n)}^2)$
根据方差的计算公式$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，可得$E(X_{(n)}^2)=D(X_{(n)}) + [E(X_{(n)})]^2$。
先计算$D(X_{(n)})$，$E(X_{(n)}^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_{X_{(n)}}(x)dx$，则：
$\begin{align*}E(X_{(n)}^2)&=\int_{0}^{\theta}x^2\cdot\frac{nx^{n - 1}}{\theta^n}dx\\&=\frac{n}{\theta^n}\int_{0}^{\theta}x^{n + 1} dx\\&=\frac{n}{\theta^n}\cdot\frac{1}{n + 2}x^{n + 2}\big|_{0}^{\theta}\\&=\frac{n}{n + 2}\theta^2\end{align*}$ - 步骤三：将$E(X_{(n)})$和$E(X_{(n)}^2)$代入$h(c)$并化简
将$E(X_{(n)})=\frac{n}{n + 1}\theta$，$E(X_{(n)}^2)=\frac{n}{n + 2}\theta^2$代入$h(c)=c^2E(X_{(n)}^2) - 2c\theta E(X_{(n)}) + \theta^2$，可得：
$\begin{align*}h(c)&=c^2\cdot\frac{n}{n + 2}\theta^2 - 2c\theta\cdot\frac{n}{n + 1}\theta + \theta^2\\&=\theta^2\left(\frac{n}{n + 2}c^2 - \frac{2n}{n + 1}c + 1\right)\end{align*}$ - 步骤四：求$h(c)$的最小值
$h(c)$是关于$c$的二次函数，二次项系数$\frac{n}{n + 2}\gt0$，函数图象开口向上，根据二次函数的性质，当$c = -\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值，其中$a = \frac{n}{n + 2}$，$b = -\frac{2n}{n + 1}$，则：
$\begin{align*}c&=-\frac{-\frac{2n}{n + 1}}{2\cdot\frac{n}{n + 2}}\\&=\frac{n + 2}{n + 1}\end{align*}$