设总体X的概率密度为f(x)= {e)^dfrac (-(x-pi ){theta )},xgeqslant mu 0, .其中θ＞0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的简单随机样本．试求θ，μ的最大似然估计量．

步骤 1：写出似然函数
似然函数为 $L(x_1, x_2, ..., x_n; \theta, \mu) = f(x_1; \theta, \mu) \cdot f(x_2; \theta, \mu) \cdot ... \cdot f(x_n; \theta, \mu)$
根据题目中给出的概率密度函数，可以得到：
$L(x_1, x_2, ..., x_n; \theta, \mu) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{\theta }^{n}}{e}^{-\dfrac {1}{\theta }\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )},x_{i}\geqslant \mu (i=1,2,\cdots ,n)\\ 0,\end{matrix} \right.$
步骤 2：对似然函数取对数
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$\ln L = -n\ln \theta - \dfrac {1}{\theta }\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )$
步骤 3：求对数似然函数的偏导数
对对数似然函数分别对θ和μ求偏导数：
$\dfrac {\partial \ln L}{\partial \theta } = -\dfrac {n}{\theta } + \dfrac {1}{{\theta }^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )$
$\dfrac {\partial \ln L}{\partial \mu } = \dfrac {n}{\theta }$
步骤 4：求解最大似然估计量
由步骤3中的偏导数，可以得到：
$\dfrac {\partial \ln L}{\partial \mu } = \dfrac {n}{\theta } > 0$，说明lnL关于μ单调增加，即L关于μ单调增加。又因为$\mu \leqslant min\{ x_i \}$，所以μ的最大似然估计量为$\hat{\mu} = min\{ X_i \}$。
由$\dfrac {\partial \ln L}{\partial \theta } = 0$，可以得到θ的最大似然估计量为$\hat{\theta} = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\hat{\mu})$。