题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(25)是来自总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(25)的样本，则_(1),(X)_(2),... ,(X)_(25)，当_(1),(X)_(2),... ,(X)_(25)______时，服从自由度为_______的______分布。
设
是来自总体
的样本，则
，当
______时，服从自由度为_______的______分布。
题目解答
答案
是来自总体的样本，。
正态分布标准化的方法如下：若
，则
。因此
。
根据卡方分布的定义：
是来自总体
的样本，则称统计量
服从自由度为
的卡方分布。
因此可列出方程：
自由度为
。
综上：设是来自总体的样本，则，当时，服从自由度为的卡方分布。
解析
步骤 1：标准化正态分布
给定$X\sim N(0,4)$，我们首先将$X$标准化，即$\dfrac{X}{2}\sim N(0,1)$，因为$X$的方差为4，标准差为2。
步骤 2：构造卡方分布
根据卡方分布的定义，若$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自总体$N(0,1)$的样本，则统计量${X}^{2}={{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+\cdots +{{X}_{n}}^{2}$服从自由度为$n$的卡方分布。
步骤 3：确定K值
根据题目，$Y=K\sum_{i=1}^{25}X_i^2$，为了使$Y$服从卡方分布，我们需要将$X_i$标准化，即$Y=4K\sum_{i=1}^{25}(\dfrac{X_i}{2})^2$。因此，$4K=1$，解得$K=\dfrac{1}{4}$。
步骤 4：确定自由度
由于$X_1, X_2, \cdots, X_{25}$是来自总体$N(0,1)$的样本，因此$Y$服从自由度为25的卡方分布。
给定$X\sim N(0,4)$，我们首先将$X$标准化，即$\dfrac{X}{2}\sim N(0,1)$，因为$X$的方差为4，标准差为2。
步骤 2：构造卡方分布
根据卡方分布的定义，若$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自总体$N(0,1)$的样本，则统计量${X}^{2}={{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+\cdots +{{X}_{n}}^{2}$服从自由度为$n$的卡方分布。
步骤 3：确定K值
根据题目，$Y=K\sum_{i=1}^{25}X_i^2$，为了使$Y$服从卡方分布，我们需要将$X_i$标准化，即$Y=4K\sum_{i=1}^{25}(\dfrac{X_i}{2})^2$。因此，$4K=1$，解得$K=\dfrac{1}{4}$。
步骤 4：确定自由度
由于$X_1, X_2, \cdots, X_{25}$是来自总体$N(0,1)$的样本，因此$Y$服从自由度为25的卡方分布。