设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为 E(X)=-2，E(Y)=2，方差分别为 D(X)=1，D(Y)=4，且 rho_(xy)=-0.5。求：(1) E(2X-Y)；(2) D(2X-Y)。

我们已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望、方差和相关系数如下： - $E(X) = -2$ - $E(Y) = 2$ - $D(X) = 1$ - $D(Y) = 4$ - $\rho_{XY} = -0.5$ 我们要计算： 1. $E(2X - Y)$ 2. $D(2X - Y)$ --- ### 第一步：计算数学期望 $E(2X - Y)$ 根据期望的线性性质： $$ E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y) $$ 代入已知值： $$ E(2X - Y) = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6 $$ --- ### 第二步：计算方差 $D(2X - Y)$ 我们使用方差的线性组合公式： $$ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\cdot \text{Cov}(X, Y) $$ 对于 $D(2X - Y)$，即 $a = 2, b = -1$，代入得： $$ D(2X - Y) = 2^2D(X) + (-1)^2D(Y) + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot \text{Cov}(X, Y) $$ $$ = 4D(X) + D(Y) - 4\cdot \text{Cov}(X, Y) $$ 我们已知： - $D(X) = 1$ - $D(Y) = 4$ - $\rho_{XY} = -0.5$ 而协方差 $\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}$ $$ \text{Cov}(X, Y) = -0.5 \cdot \sqrt{1} \cdot \sqrt{4} = -0.5 \cdot 1 \cdot 2 = -1 $$ 代入方差公式： $$ D(2X - Y) = 4 \cdot 1 + 4 - 4 \cdot (-1) = 4 + 4 + 4 = 12 $$ --- ### 最终答案： 1. $E(2X - Y) = \boxed{-6}$ 2. $D(2X - Y) = \boxed{12}$