2-1-5 当x→∞时，下列函数为无穷小量的是（ ）A. (x+cos x)/(x)B. xsinxC. (sin x)/(x)D. (1)/(2^x)-1

本题考查无穷小量的概念以及函数极限的计算。解题的关键在于分别计算每个选项中函数当$x\to\infty$时的极限，，若极限为$0$，则该函数为无穷小量。

选项A

对于函数$y = \frac{x + \cos x}{x}$，将其化简为\(1)式： $y=\frac{x + \cos x}{x}=\frac{x}{x}+\frac{\cos x}{x}=1+\frac{\cos x}{x}$
当$x\to\infty$时，$\lim\limits_{x\to\infty}1 = 1$。
因为$\cos x$是有界函数，即$-1\leqslant\cos xx\leqslant{1}x\leqslant1$，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，当$x\to\infty\infty$时，$\frac{1}{x}\to0$，所以$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\cos x\}=0$。
再根据极限的加法法则$\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x)+\lim\limits_{x\to a}g(x)$，可得：
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x + \cos x}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{\cos x}{x})=\lim\limits_{x\to\infty}1+\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x}=1 + 0 = 1\neq0$
所以该函数函数函数不是无穷小量。

选项B

对于函数$y = x\sin x$，当$x\to\infty$时，$x$趋于无穷大，而$\sin x$是周期函数，在$[-1,1]$之间振荡。
当$x = 2k\pi+\frac{1}{2}(k\in Z)$且$k\to\infty$时，$\sin x = 1$，此时$x\sin x = x\to\infty$，极限不存在且不为$0$，所以该函数不是无穷小量。

选项C

对于函数$y = \frac{\sin x}{x}$，因为$\sin x$是有界函数，即$-1\leqslant\sin x\leqslant1$，当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}\to0$。
根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，可得$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$，所以该函数是无穷小量。

选项D

对于函数$y = \frac{1}{2^{x}-1}$，当$x\to+\infty$时，\(2)式： $\lim\limits_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty$，则$\lim\limits_{x\to+\infty}(2^{x}-1)=+\infty$，所以$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{2^{x}-1}=0$。
当$x\to-\infty$时，$\lim\limits_{x\to-\infty}2^{x}=0$，则$\lim\limits_{x\to-\infty}(2^{x}-1)= - 1$，所以$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{2^{x}-1}=-1$。
因为$x\to\infty$包含$x\to+\infty$和$x\to-\infty$两种情况，由于左右极限不相等，所以$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{2^{x}-1}$不存在，该函数不是无穷小量。