题目

矩阵 A = } 3 & 1 & 0 & 2 1 & -1 & 2 & -1 1 & 3 & -4 & 4 的秩是()A. 1B. 2C. 3D. 4

矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -4 & 4 \end{bmatrix} $ 的秩是()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

题目解答

答案

B. 2

解析

本题考查矩阵秩的计算，解题思路是通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为原矩阵的秩。

下面对矩阵$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -4 & 4 \end{bmatrix}$进行初等行变换：

  1. 交换第一行和第二行，得到$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -4 & 4 \end{bmatrix}$。
  2. 第二行减去第一行的$3$倍，第三行减去第一行，即：
    • 第二行：$R_2 = R_2 - 3R_1$，$\begin{bmatrix} 3 - 3\times1 & 1 - 3\times(-1) & 0 - 3\times2 & 2 - 3\times(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -6 & 5 \end{bmatrix}$。
    • 第三行：$R_3 = R_3 - R_1$，$\begin{bmatrix} 1 - 1 & 3 - (-1) & -4 - 2 & 4 - (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -6 & 5 \end{bmatrix}$。
      此时矩阵变为$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 4 & -6 & 5 \\ 0 & 4 & -6 & 5 \end{bmatrix}$。
  3. 第三行减去第二行，即$R_3 = R_3 - R_2$，$\begin{bmatrix} 0 - 0 & 4 - 4 & -6 - (-6) & 5 - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。
    得到行阶梯形矩阵$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 4 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。
    行阶梯形矩阵中非零行的行数为$2$，所以矩阵$A$的秩为$2$。