题目
lim _(x arrow +infty)(sqrt(x^2)+x-sqrt(x^2)-x)___
$\lim _{x \rightarrow +\infty}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x})$___
题目解答
答案
将原式进行有理化处理：
\[
\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}
\]
分子化简为：
\[
(x^2 + x) - (x^2 - x) = 2x
\]
分母为：
\[
\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}
\]
因此，原式变为：
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}
\]
将分子和分母同时除以 $x$：
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}
\]
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，故：
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{1 + 1} = 1
\]
最终结果为：
\[
\boxed{1}
\]
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路是先对原式进行有理化处理，消除根式相减的形式，然后化简式子，再通过分子分母同时除以自变量的最高次幂，将极限转化为可直接计算的形式。
- 有理化处理：
为了消除原式$\lim _{x \rightarrow +\infty}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x})$中根式相减的形式，我们给分子分母同时乘以$\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}-x}$，得到：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$
根据平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，分子$(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})=(x^2 + x) - (x^2 - x)$。 - 化简分子：
对分子$(x^2 + x) - (x^2 - x)$进行去括号计算：
$(x^2 + x) - (x^2 - x)=x^2 + x - x^2 + x = 2x$
此时原式变为$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$。 - 分子分母同除$x$：
当$x\to +\infty$时，为了方便计算极限，我们将分子分母同时除以$x$。
因为$x\gt0$，所以$\frac{2x}{x}=2$，$\frac{\sqrt{x^2 + x}}{x}=\sqrt{\frac{x^2 + x}{x^2}}=\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$，$\frac{\sqrt{x^2 - x}}{x}=\sqrt{\frac{x^2 - x}{x^2}}=\sqrt{1 - \frac{1}{x}}$。
则原式变为$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$。 - 计算极限：
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，将其代入上式可得：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}=\frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}}=\frac{2}{1 + 1} = 1$