题目

4.设总体Xsim f(x;theta)={}theta(1-x)^theta-1,&0le xle 1,0,&其他,)是样本，求theta的矩估计和最大似然估计.

4.设总体$X\sim f(x;\theta)=\left\{\begin{matrix}\theta(1-x)^{\theta-1},&0\le x\le 1,\\0,&其他,\end{matrix}\right.\theta$未知，$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是样本，求$\theta$的矩估计和最大似然估计.

题目解答

答案

**矩估计：** 计算总体期望： $$ E(X) = \int_0^1 x \theta (1-x)^{\theta-1} \, dx = \frac{1}{\theta+1}. $$ 令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望，解得： $$ \hat{\theta} = \frac{1}{\overline{X}} - 1. $$ **最大似然估计：** 似然函数： $$ L(\theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n (1-x_i)^{\theta-1}. $$ 取对数并求导： $$ \ell(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln (1-x_i), $$ $$ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln (1-x_i) = 0. $$ 解得： $$ \hat{\theta}_{\text{MLE}} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln (1-x_i)}. $$ **答案：** 矩估计：$\boxed{\frac{1}{\overline{X}} - 1}$ 最大似然估计：$\boxed{-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln (1-x_i)}}$

解析

考查要点：本题主要考查矩估计法和最大似然估计法的应用，需要掌握概率密度函数的积分求期望以及对数似然函数的求导方法。

解题核心思路：

  1. 矩估计：通过计算总体的一阶原点矩（期望），令样本矩（样本均值）与之相等，解方程得到参数估计值。
  2. 最大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，解方程得到参数的最大似然估计值。

破题关键点：

  • 矩估计的关键是正确计算总体期望，需利用积分技巧或Beta函数性质简化计算。
  • 最大似然估计需注意对数似然函数的构造和求导过程，尤其注意对数函数的导数形式。

矩估计

  1. 计算总体期望
    总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x;\theta) = \theta(1-x)^{\theta-1}$，其期望为：
    $E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta(1-x)^{\theta-1} \, dx$
    通过Beta函数性质可知，当 $X \sim \text{Beta}(1, \theta)$ 时，$E(X) = \frac{1}{1+\theta}$。

  2. 建立矩估计方程
    令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望：
    $\overline{X} = \frac{1}{\theta + 1}$
    解得矩估计量：
    $\hat{\theta} = \frac{1}{\overline{X}} - 1$

最大似然估计

  1. 构造似然函数
    样本的似然函数为：
    $L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta(1-x_i)^{\theta-1} = \theta^n \prod_{i=1}^n (1-x_i)^{\theta-1}$

  2. 取对数并求导
    对数似然函数为：
    $\ell(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln(1-x_i)$
    对 $\theta$ 求导并令导数为零：
    $\frac{d\ell}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln(1-x_i) = 0$

  3. 解方程求最大似然估计
    解得：
    $\hat{\theta}_{\text{MLE}} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(1-x_i)}$