题目
4.设函数z=z(x,y)由方程z=e^2x-3z+2y确定，则3(partial z)/(partial x)+(partial z)/(partial y)=____.
4.设函数z=z(x,y)由方程$z=e^{2x-3z}+2y$确定，则3$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$=____.
题目解答
答案
设函数 $ z = z(x, y) $ 由方程 $ z = e^{2x - 3z} + 2y $ 确定。对两边关于 $ x $ 求偏导数，得
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{2x - 3z} \left( 2 - 3 \frac{\partial z}{\partial x} \right),
\]
解得
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2e^{2x - 3z}}{1 + 3e^{2x - 3z}}.
\]
同理，对两边关于 $ y $ 求偏导数，得
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{2x - 3z} \left( -3 \frac{\partial z}{\partial y} \right) + 2,
\]
解得
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{1 + 3e^{2x - 3z}}.
\]
因此，
\[
3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot \frac{2e^{2x - 3z}}{1 + 3e^{2x - 3z}} + \frac{2}{1 + 3e^{2x - 3z}} = \frac{6e^{2x - 3z} + 2}{1 + 3e^{2x - 3z}} = 2.
\]
答案：$\boxed{2}$
解析
本题考查隐函数求偏导数的知识。解题思路是通过对方程两边分别关于$x$和$y$求偏导数，利用复合函数求导法则求出$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$，最后代入$3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$进行计算。
- 求$\frac{\partial z}{\partial x}$：
已知函数$z = z(x,y)$由方程$z = e^{2x - 3z} + 2y$确定，方程两边同时对$x$求偏导数。
根据复合函数求导法则，若$F=f(g(x))$，则$F^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$。
对于$e^{2x - 3z}$，令$u = 2x - 3z$，则$\frac{\partial}{\partial x}(e^{2x - 3z})=\frac{\partial}{\partial u}(e^u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^u\cdot(2 - 3\frac{\partial z}{\partial x})=e^{2x - 3z}(2 - 3\frac{\partial z}{\partial x})$。
而$\frac{\partial}{\partial x}(z)=\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial}{\partial x}(2y)=0$（因为$y$看作常数）。
所以可得$\frac{\partial z}{\partial x}=e^{2x - 3z}(2 - 3\frac{\partial z}{\partial x})$。
展开式子得$\frac{\partial z}{\partial x}=2e^{2x - 3z}-3e^{2x - 3z}\frac{\partial z}{\partial x}$。
移项可得$\frac{\partial z}{\partial x}+3e^{2x - 3z}\frac{\partial z}{\partial x}=2e^{2x - 3z}$。
提取公因式$\frac{\partial z}{\partial x}$得$\frac{\partial z}{\partial x}(1 + 3e^{2x - 3z})=2e^{2x - 3z}$。
两边同时除以$1 + 3e^{2x - 3z}$，解得$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2e^{2x - 3z}}{1 + 3e^{2x - 3z}}$。 - 求$\frac{\partial z}{\partial y}$：
方程$z = e^{2x - 3z} + 2y$两边同时对$y$求偏导数。
同样根据复合函数求导法则，$\frac{\partial}{\partial y}(e^{2x - 3z})=e^{2x - 3z}\cdot(-3\frac{\partial z}{\partial y})$。
$\frac{\partial}{\partial y}(z)=\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2$。
所以可得$\frac{\partial z}{\partial y}=e^{2x - 3z}(-3\frac{\partial z}{\partial y}) + 2$。
展开式子得$\frac{\partial z}{\partial y}=-3e^{2x - 3z}\frac{\partial z}{\partial y}+2$。
移项可得$\frac{\partial z}{\partial y}+3e^{2x - 3z}\frac{\partial z}{\partial y}=2$。
提取公因式$\frac{\partial z}{\partial y}$得$\frac{\partial z}{\partial y}(1 + 3e^{2x - 3z})=2$。
两边同时除以$1 + 3e^{2x - 3z}$，解得$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{1 + 3e^{2x - 3z}}$。 - 计算$3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$：
将$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2e^{2x - 3z}}{1 + 3e^{2x - 3z}}$和$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{1 + 3e^{2x - 3z}}$代入$3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$可得：
$\begin{align*}3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}&=3\cdot\frac{2e^{2x - 3z}}{1 + 3e^{2x - 3z}}+\frac{2}{1 + 3e^{2x - 3z}}\\&=\frac{6e^{2x - 3z}}{1 + 3e^{2x - 3z}}+\frac{2}{1 + 3e^{2x - 3z}}\\&=\frac{6e^{2x - 3z}+2}{1 + 3e^{2x - 3z}}\\&=\frac{2(3e^{2x - 3z}+1)}{1 + 3e^{2x - 3z}}\\&=2\end{align*}$