样本X_1,X_2,...,X_n取自总体X，EX=mu，DX=sigma^2，则()可以作为sigma^2的无偏估计。A. 当mu未知时,统计量sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2/nB. 当mu已知时,统计量sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2/(n-1)C. 当mu未知时,统计量sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2/(n-1)D. 当mu未知时,统计量sum_(i=1)^n(X_i-overline(X))^2/(n-1)

本题考查总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计的相关知识。解题的关键在于明确在总体均值 $\mu$ 已知和未知的不同情况下，如何构造总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量，并通过计算各选项统计量的期望来判断其是否为无偏估计。

1. 明确无偏估计的定义

若一个统计量 $\hat{\theta}$ 是总体参数 $\theta$ 的无偏估计，则需满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$。本题中，我们要判断各选项的统计量是否为 $\sigma^2$ 的无偏估计，即判断其期望是否等于 $\sigma^2$。

2. 分析选项A

当 $\mu$ 未知时，统计量为 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{n}$。
我们知道样本方差的另一种表达式为 $S^2=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{n - 1}$，且 $E(S^2)=\sigma^2$。
而 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{n}=\frac{n - 1}{n}S^2$，根据期望的性质 $E(aY)=aE(Y)$（其中 $a$ 为常数，$Y$ 为随机变量），可得：
$E\left(\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{n}\right)=E\left(\frac{n - 1}{n}S^2\right)=\frac{n - 1}{n}E(S^2)=\frac{n - 1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2$
所以选项A不是 $\sigma^2$ 的无偏估计。

3. 分析选项B

当 $\mu$ 已知时，统计量为 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2}{n - 1}$。
因为 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是取自总体 $X$ 的样本，且 $DX = \sigma^2$，根据方差的定义 $DX = E(X^2)-[E(X)]^2$，可得 $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$。
则 $E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i^2 - 2\mu X_i + \mu^2)\right]$
$=E\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\right)-2\mu E\left(\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)+E\left(\sum_{i = 1}^{n}\mu^2\right)$
$=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i^2)-2\mu\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)+n\mu^2$
$=n(\sigma^2+\mu^2)-2\mu\cdot n\mu + n\mu^2=n\sigma^2$
所以 $E\left(\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2}{n - 1}\right)=\frac{1}{n - 1}E\left[\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2\right]=\frac{n}{n - 1}\sigma^2\neq\sigma^2$
因此选项B不是 $\sigma^2$ 的无偏估计。

4. 分析选项C

当 $\mu$ 未知时，我们不能使用 $\mu$ 来构造统计量，因为 $\mu$ 是未知的，无法准确计算该统计量的值，所以选项C不符合要求。

5. 分析选项D

当 $\mu$ 未知时，统计量为 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{n - 1}$，即样本方差 $S^2$。
根据样本方差的性质，有 $E(S^2)=E\left(\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}{n - 1}\right)=\sigma^2$
所以选项D是 $\sigma^2$ 的无偏估计。