题目

6.设随机变量X_(1)sim N(3,2^2)，X_(2)sim N(-1,3^2)，且X_(1)与X_(2)相互独立，若Y=2X_(1)-X_(2)+2，则Y服从____分布。

6.设随机变量$X_{1}\sim N(3,2^{2})$，$X_{2}\sim N(-1,3^{2})$，且$X_{1}$与$X_{2}$相互独立，若$Y=2X_{1}-X_{2}+2$，则Y服从____分布。

题目解答

答案

为了确定随机变量 $ Y = 2X_1 - X_2 + 2 $ 的分布，我们需要利用正态分布的性质。具体来说，正态随机变量的线性组合也是正态分布的。让我们一步步来分析。 1. **确定 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 的分布：** - $ X_1 \sim N(3, 2^2) $，这意味着 $ X_1 $ 的均值为 $ \mu_1 = 3 $，方差为 $ \sigma_1^2 = 4 $。 - $ X_2 \sim N(-1, 3^2) $，这意味着 $ X_2 $ 的均值为 $ \mu_2 = -1 $，方差为 $ \sigma_2^2 = 9 $。 2. **找到 $ Y $ 的均值：** 随机变量线性组合的均值是其各部分均值的线性组合。因此，$ Y $ 的均值 $ \mu_Y $ 为： \[ \mu_Y = 2\mu_1 - \mu_2 + 2 = 2 \cdot 3 - (-1) + 2 = 6 + 1 + 2 = 9 \] 3. **找到 $ Y $ 的方差：** 随机变量线性组合的方差是其各部分方差的线性组合，考虑到变量之间的协方差。由于 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 相互独立，它们的协方差为零。因此，$ Y $ 的方差 $ \sigma_Y^2 $ 为： \[ \sigma_Y^2 = 2^2 \sigma_1^2 + (-1)^2 \sigma_2^2 + 0 = 4 \cdot 4 + 1 \cdot 9 = 16 + 9 = 25 \] 4. **确定 $ Y $ 的分布：** 由于 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 都是正态分布的，它们的线性组合 $ Y $ 也是正态分布的。因此，$ Y $ 服从均值为 9，方差为 25 的正态分布，即 $ Y \sim N(9, 5^2) $。 最终答案是： \[ \boxed{N(9, 25)} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，以及均值和方差的计算方法。

解题核心思路：

  1. 正态分布的封闭性：若随机变量服从正态分布，其线性组合仍服从正态分布。
  2. 均值的线性性质：线性组合的均值等于各部分均值的线性组合。
  3. 方差的计算：线性组合的方差等于各部分方差的加权和（独立时无协方差项）。

破题关键点：

  • 明确$X_1$和$X_2$的均值与方差。
  • 利用独立性简化方差计算（协方差为0）。
  • 正确代入线性组合的系数计算最终均值和方差。

步骤1：确定$X_1$和$X_2$的参数

  • $X_1 \sim N(3, 2^2)$，即均值$\mu_1 = 3$，方差$\sigma_1^2 = 4$。
  • $X_2 \sim N(-1, 3^2)$，即均值$\mu_2 = -1$，方差$\sigma_2^2 = 9$。

步骤2：计算$Y$的均值

根据期望的线性性质：
$\begin{aligned}E(Y) &= E(2X_1 - X_2 + 2) \\&= 2E(X_1) - E(X_2) + 2 \\&= 2 \cdot 3 - (-1) + 2 \\&= 6 + 1 + 2 = 9.\end{aligned}$

步骤3：计算$Y$的方差

由于$X_1$与$X_2$独立，协方差为0：
$\begin{aligned}\text{Var}(Y) &= \text{Var}(2X_1 - X_2 + 2) \\&= 2^2 \cdot \text{Var}(X_1) + (-1)^2 \cdot \text{Var}(X_2) \\&= 4 \cdot 4 + 1 \cdot 9 \\&= 16 + 9 = 25.\end{aligned}$

步骤4：确定$Y$的分布

$Y$是正态分布的线性组合，因此$Y \sim N(9, 25)$。