题目
设X_1, X_2 ... X_n是来自正态总体N(0,1)的样本，则(1)/(n-1)sum_(i=2)^n X_i^2/X_1^2:A. F(1,n-1)B. F(1,n)C. F(n-1,1)D. F(n,1)
设$X_1, X_2 \cdots X_n$是来自正态总体$N(0,1)$的样本，则$\frac{1}{n-1}\sum_{i=2}^n X_i^2/X_1^2$:
A. $F(1,n-1)$
B. $F(1,n)$
C. $F(n-1,1)$
D. $F(n,1)$
题目解答
答案
C. $F(n-1,1)$
解析
步骤 1：理解样本分布
$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，这意味着每个 $X_i$ 都独立地服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：计算平方和的分布
由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布于 $N(0,1)$，则 $X_i^2$ 服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$\sum_{i=2}^{n} X_i^2$ 为 $n-1$ 个标准正态平方和，服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
步骤 3：确定 $X_1^2$ 的分布
$X_1^2$ 服从 $\chi^2(1)$ 分布。
步骤 4：应用 F 分布定义
根据 F 分布的定义，若 $U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$ 独立，则 $\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$。取 $U = \sum_{i=2}^{n} X_i^2$，$V = X_1^2$，则
\[ \frac{U/(n-1)}{V/1} = \frac{\sum_{i=2}^{n} X_i^2 / (n-1)}{X_1^2} \sim F(n-1,1) \]
即 $\frac{1}{n-1} \sum_{i=2}^{n} X_i^2 / X_1^2 \sim F(n-1,1)$。
$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，这意味着每个 $X_i$ 都独立地服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：计算平方和的分布
由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布于 $N(0,1)$，则 $X_i^2$ 服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$\sum_{i=2}^{n} X_i^2$ 为 $n-1$ 个标准正态平方和，服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
步骤 3：确定 $X_1^2$ 的分布
$X_1^2$ 服从 $\chi^2(1)$ 分布。
步骤 4：应用 F 分布定义
根据 F 分布的定义，若 $U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$ 独立，则 $\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$。取 $U = \sum_{i=2}^{n} X_i^2$，$V = X_1^2$，则
\[ \frac{U/(n-1)}{V/1} = \frac{\sum_{i=2}^{n} X_i^2 / (n-1)}{X_1^2} \sim F(n-1,1) \]
即 $\frac{1}{n-1} \sum_{i=2}^{n} X_i^2 / X_1^2 \sim F(n-1,1)$。